Медицентър в триъгълник

[Teddy]

Даден е триъгълник ABC. Точките K, M и N са среди съответно на AB, BC и AC. Отсечката MN и CK се пресичат в точка O, а G е медицентър. Докажете, че OG=1/6CK

[S.B.]

Без заглавие (55).png (192.58 KiB) Прегледано 278 пъти

Даден е триъгълник ABC. Точките K, M и N са среди съответно на AB, BC и AC. Отсечката MN и CK се пресичат в точка O, а G е медицентър. Докажете, че OG=1/6CK

[tex]K[/tex] - среда $\Rightarrow CK $ е медиана , $G$ е медицентър $G\in CK , CG = \frac{2}{3} CK$
$N,M$ - среди $\Rightarrow NM$ е средна отсечка $\Rightarrow NM || AB$
$CK \cap NM = O$
$N$ е среда , $NM || AB ,NM\cap CK= O \Rightarrow O$ е среда на $CK \Rightarrow CO = \frac{1}{2}CK$
$CG = \frac{2}{3} CK , CO = \frac{1}{2}CK \Rightarrow OG = CG - CO = \frac{2}{3}CK - \frac{1}{2}CK = \frac{1}{6}CK$