Ромб и медицентър в триъгълник

[Teddy]

В ромба ABCD [tex]\angle[/tex]ABC=120[tex]^\circ[/tex]. Точките G1 и G2 са медицентрове съответно на [tex]\triangle[/tex]ABD и [tex]\triangle[/tex]DBC. Ако периметърът на четириъгълника G1BG2D е 3,2dm, намерете дължината на AC.

[S.B.]

Без заглавие (57).png (262.95 KiB) Прегледано 419 пъти

В ромба ABCD [tex]\angle[/tex]ABC=120[tex]^\circ[/tex]. Точките G1 и G2 са медицентрове съответно на [tex]\triangle[/tex]ABD и [tex]\triangle[/tex]DBC. Ако периметърът на четириъгълника G1BG2D е 3,2dm, намерете дължината на AC.

[tex]\angle B = 120^\circ \Rightarrow \angle A = 60^\circ ,ABCD[/tex] е ромб $\Rightarrow \triangle ABC$ е равнобедрен , $G_{1 }$ е медицентър
$ \Rightarrow BG_{1 } = DG_{1 } = \frac{2}{3} AO$
Аналогично $BG_{2 } = DG_{2 } = \frac{2}{3} CO$ ,но $AO = CO \Rightarrow$
$ BG_{1 } = DG_{1 } = BG_{2 } = DG_{2 } = \frac{1}{4}P_{G_{1 }BG_{2 }D } = 0,8dm$
$0,8dm = \frac{2}{3} AO \Rightarrow AO = 1,2 \Rightarrow AC = 2,4$