Сложна геометрична задача (търся помощ)

[ffan]

Моля ви за малко помощ. Геометрията не ми е най-любимата част от математиката, но какво да се прави - трябва и през нея да мина. Има една задача, която силно ме затрудни и реших да ви питам за помощ. Ето условието:

Даден е триъгълник ABC с медиани AA1, BB1 и CC1, които се пресичат в точка M. Докажете, че ако точките A1, B1, C и M лежат на една окръжност, то ъглите BCC1 = ABB1 и ACC1 = BAA1.

Ето чертеж (окръжността минава през точка M, просто го чертах набързо на Пейнт):

9b0dc9aff782becc.PNG (8.27 KiB) Прегледано 391 пъти

[martosss]

Ако има такава окръжност, то от свойството на вписаните ъгли <A1CM=<A1B1M.
A1B1 е средна отсечка, тъй като А1 и В1 са среди на ВС и АС, откъдето A1B1 е успоредна на АВ.
Тогава <A1B1M и ъгъл ABB1 са кръстни, откъдето и равни.
Получихме <BCM=<A1B1M=<MBA.
Правиш същото и за другите ъгли и решението е на лице.

[ffan]

Много ти благодаря!!!