Окръжност , допирателни

[Гост]

Окръжностите К( O ; R) и к ( о ; r) се допират външно в точка А. Една от общите им външни допирателни се допира до К и к, съответо в точките В и С и пресича общата им вътрешна допирателна в точка М.
а/ Намерете ъгъл ВАС
б/ Докажете ,че триъгълник ОоМ е правоъгълен.

Предварително благодаря !

[KOPMOPAH]

Мисля, че е прието точките да се означават с главни латински букви, а геометричните фигури - с малки. Затова си позволих малка редакция на условието, като замених $K$ с $k$, $k$ с $k_1$ и $o$ с $O_1$, което по никакъв начин не се отразява на решението.

Окръжност и допирателни.png (22.64 KiB) Прегледано 1036 пъти

а) От свойствата на допирателната през една точка $MB=MA=MC$, откъдето следва, че те лежат на окръжност с център т.$M$ и радиус $MB$.
В такъв случай $BC$ се явява диаметър и $\measuredangle BAC=90^\circ$.

б) Центърът на окръжността $k$ лежи на ъглополовящата на $\measuredangle BMA$, следователно $\measuredangle BMO=\measuredangle OMA=\varphi$. По същата логика $\measuredangle AMO_1=\measuredangle O_1MC=\psi$.
Имаме, че $2\varphi+2\psi=180^\circ \Rightarrow \varphi+\psi=90^\circ$ и $\measuredangle OMO_1=90^\circ$, откъдето следва, че $\triangle OMO_1$ е правоъгълен.

[S.B.]

а) От свойствата на допирателната през една точка $MB=MA=MC$, откъдето следва, че те лежат на окръжност с център т.$M$ и радиус $MB$.
В такъв случай $BC$ се явява диаметър и $\measuredangle BAC=90^\circ$.

От [tex]MB = MA = MC[/tex] също така следва директно,че $\triangle ABC$ е правоъгълен ( $MA$ е медиана към хипотенузата $BC$)