Да се докаже, че числото $\sqrt3$ е ирационално

[Меди]

Да се докаже, че числото $\sqrt3$ е ирационално.

Допускаме, че $\sqrt3$ е рационално число, т.е. $\sqrt{3}=\dfrac{a}{b}, b\ne 0$, където $\dfrac{a}{b}$ е несъкратима дроб. Тогава $a^2=3b^2$, откъдето следва, че $a^2$ се дели на $3$. Ще докажем, че и $a$ се дели на $3$. Ако $a$ не се дели на $3$, то $a=3k+1$ или $a=3k+2$. Ако $a=3k+1$, то $a^2=(3k+1)^2=9k^2+6k+1$, което не се дели на $3$. Това противоречи на условието, че $a^2$ се дели на $3$. Следователно $a\ne 3k+1$. Аналогично се доказва, че $a\ne 3k+2$. Следователно $a$ се дели на $3$ и може да се представи във вида $a=3k$. Тогава от $a^2=(3k)^2=3b^2$, следва, че $b^2=3k^2$, т.е. $b^2$ се дели на $3$ и $b$ се дели на $3$. Получихме, че $a$ и $b$ се делят на $3$, което противоречи на условието, че $\dfrac{a}{b}$ е несъкратима дроб. Следователно $\sqrt3$ е ирационално число.

Бих искал да попитам защо сме сигурни, че $9k^2+6k+1$ не се дели на $3$. Използваме, че необходимото и достатъчно условие един сбор да се дели на дадено число, е всяко от събираемите да се дели на това число, а в случая, $1$ не се дели на $3$, нали така? След като получим, че $b^2|3$, необходимо ли е да разписваме защо и $b|3$? Всъщност, ако $a^2|b\ne0 \Rightarrow a|b$, ако $a\ge b$?

Желая Ви светли празници!

[pipi langstrump]

Ако a/b е несъкратима, не слeдва ли веднага, че и а^2/b^2 е несъкратима? От което следва и твърдението.

[pal702004]

Това, че ако $a^2$ се дели на просто $p$, то и $a$ се дели на $p$ (както и обратното), е пряко следствие на основната теорема на аритметиката и не е нужно да се "доказва".

Използваме, че необходимото и достатъчно условие един сбор да се дели на дадено число, е всяко от събираемите да се дели на това число.

Не разбира се, няма такова "необходимо условие". Пример $1+1+1$ се дели на 3. Просто представи $9k^2+6k+1$ като $3(3k^2+2k)+1$ и ще разбереш какъв остатък дава това число при делене на 3, независимо от $k$. Няма да е нула.

След като получим, че $b^2|3$, необходимо ли е да разписваме защо и $b|3$? Всъщност, ако $a^2|b \Rightarrow a|b$, ако $a\ge b$?

Тук има бъркотия и в нотацията, и в смисъла. Всъщност $a\mid b$ означава "а дели b" или, което е същото, "b се дели на а". Може да се използва друга нотация: $b\vdots a$ (b се дели на a)
Така че правилната нотация на твърдението ти е: $b \mid a^2 \Rightarrow b \mid a$, ако $a \ge b$. Само че това твърдение в общият случай не е вярно. Не е вярно например, при $b=12,a=18$. Вярно е, ако е известно, че $b$ е просто число. (повтарям, основната теорма на аритметиката). В случая 3 е просто, така че няма проблем.