Задача с окръжност и квадрат

[Гост]

Даден е квадрат АBCD и е построена окръжност k с център А и радиус АB. През точка P oт дъгата BD e построена допирателна към k, която пресича страните BC и CD съответно в точки M и N. Aко PN=4cm и PM=6cm, намерете страната на квадрата.

[S.B.]

Без заглавие (41).png (233.86 KiB) Прегледано 312 пъти

Даден е квадрат АBCD и е построена окръжност k с център А и радиус АB. През точка P oт дъгата BD e построена допирателна към k, която пресича страните BC и CD съответно в точки M и N. Aко PN=4cm и PM=6cm, намерете страната на квадрата.

Нека страната на квадрата е $a$
[tex]\triangle ADN\cong \triangle APN[/tex] (по катет и хипотенуза) $ \Rightarrow DN = PN = 4 \Rightarrow NC = a - 4$
$ \triangle APM \cong \triangle ABM$ (по катет и хипотенуза) $\Rightarrow BM = MP = 6 \Rightarrow CM = a - 6$
За $\triangle MNC $ прилагаш Питагор :
$MN^{2} = NC^{2} + MC^{2} \Leftrightarrow 10^{2} = (a - 4)^{2} + (a - 6)^{2} \Leftrightarrow$
$ a^{2} - 10a - 24 = 0 ,D = 196, a_{1,2 } = \frac{10\pm14}{2} \Rightarrow a = 12$