задача геометрия моля помогнете

[Таня 2010]

Точките А, В, С не лежат на една права.Колко са правите, които са равноотдалечени от А, В, С.Много моля за помощ как се решава това?

[martin123456]

щом не лежат на 1 права => образуват [tex]\Delta[/tex]
ясно че коя да е от трите средни отсечки в [tex]\Delta[/tex] има исканото свойство
да допуснем че [tex]\exist[/tex] права [tex]l \not \equiv[/tex] с правите на средните отсечки и имаща исканото с-во
ако и трите точки [tex]A,B,C[/tex] лежат в една и съща полуравнина, определена от [tex]l[/tex], като се има предвид че са равноотдалечени от [tex]l[/tex]=>те лежат на 1 права [tex]l'||l \Rightarrow \empty[/tex].
нека например [tex]C[/tex] е в различна полуравнина спрямо [tex]l[/tex] с [tex]A,B[/tex]. нека означим петите на височините от тези три точки към [tex]l[/tex] с [tex]A_1,B_1,C_1[/tex]. не е възможно [tex]A_1 \equiv B_1[/tex] иначе [tex]A \equiv B[/tex] и не е възможно да са изпълнени едновременно [tex]A_1 \equiv C_1[/tex] и [tex]B_1 \equiv C_1[/tex], иначе следва [tex]A \equiv B[/tex] отново. нека например [tex]A_1 \ne C_1[/tex]. нека [tex]AC \cap A_1C_1=O[/tex]=>[tex]\Delta A_1OA \simeq \Delta C_1OC \Rightarrow AO=OC[/tex]. независимо дали [tex]C_1 \equiv B_1[/tex] или [tex]C_1 \not \equiv B_1[/tex]=>[tex]CB[/tex] също се разполовява от [tex]l[/tex]=>[tex]l \equiv[/tex] средна отсечка, [tex]||AB[/tex]=>[tex]\empty[/tex].

[Таня 2010]

Благодаря ти много.Не че всичко разбрах,това е задача с която според нашта математичка ще сди заслужа тройката заедно с още 9 които слава богу реших.Това че средните отсечки на триъгълника изпълняват условието според теб не се ли нуждае от някакво доказателство?

[martin123456]

да, нужда е се
но предполагам можеш да го докажеш?

[martin123456]

[tex]MN[/tex] средна отсечка. нека [tex]O_i[/tex] са петите на перпендикулярите от върховете, [tex]i=1,2,3[/tex]
[tex]\Delta AMO_1 \simeq \Delta CMO_3[/tex], понеже [tex]AM=MC[/tex], [tex]\angle AO_1M=\angle CO_3M=90^\circ[/tex], [tex]\angle O_1MA=\angle CMO_3[/tex] - получаваме 3 равни ъгъла и 2ка равни страни. оттук следва [tex]AO_1=CO_3[/tex].
aналогично докажи че [tex]BO_2=CO_3[/tex]. оттам следва [tex]AO_1=BO_2=CO_3[/tex] и значи средната отсечка [tex]MN[/tex] удовлетворява условието.
аналогично за всички други средни отсечки.

[Таня 2010]

Безкрайно много ти благодаря!