Окръжност описана около триъгълник

[TedyTod]

В триъгълника ABC мярката на ъгъл A е 45[tex]^\circ[/tex], а дължината на страната BC е 20см. Намерете разстоянието от центъра на описаната около триъгълника окръжност до страната BC.
Благодаря предварително!

[mail_dinko]

[tex]2R= \frac {a}{sin \alpha}[/tex]
[tex]2R = \frac { \cancel {2.}20 \sqrt {2}}{\cancel {\sqrt {2} . \sqrt {2}}}|:2[/tex]
[tex]R=10 \sqrt {2}= OB=OC[/tex]
[tex]P \triangle OCB= a+b+c = 20 sqrt {2} + 20 \rightarrow p = \frac {P}{2} = 10 \sqrt {2} + 10[/tex]
[tex]S \triangle OCB = \sqrt{p(p-a)^2(p-c)}[/tex]
[tex]S \triangle OCB = \sqrt {(10 \sqrt {2} + 10)(\cancel {10 \sqrt {2} } + 10 \cancel {-10 \sqrt {2}})^2(10 \sqrt {2} + 10-20)}= \sqrt {(10 \sqrt {2} + 10).10^2 . (10 \sqrt {2} - 10)}[/tex]
[tex]S \triangle OCB = 10 \sqrt {100}=100[/tex]
[tex]S \triangle OCB = \frac {CB. OH}{2} \rightarrow HB = \frac {2S}{BC} = 10[/tex]

[Гост]

Бих искала да използвам темата за да попитам и аз една задача, която се опитах да реша, но преподавателката ми върна отговор, че не е вярна. В равностранен триъгълник е вписана окръжност с радиус 10 см. Намерете радиуса на описаната окръжност около триъгълника и височината му. Благодаря Ви предварително.
Гост

[Меди]

Бих искала да използвам темата за да попитам и аз една задача, която се опитах да реша, но преподавателката ми върна отговор, че не е вярна. В равностранен триъгълник е вписана окръжност с радиус 10 см. Намерете радиуса на описаната окръжност около триъгълника и височината му. Благодаря Ви предварително.
Гост

Нека центърът на триъгълника е $O$ и височината през върха $C$ е $CH.$ Точката $O$ е медицентър на триъгълника и следователно разделя $CH$ в отношение $2:1,$ считано от върха. Получихме, че $OH=\dfrac13 CH,$ а $CH$ много лесно можем да изразим чрез Питагорова теорема за някой от триъгълниците $AHC$ или $BHC$. Можеш ли да завършиш?

Скрит текст: покажи

$r=OH=\dfrac13 CH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}=10 \Rightarrow a=...$ Попринцип, за да решим равностранен триъгълник, е достатъчно да знаем дължината на страната му. Тук може да използваме и, че $R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

[Евва]

Първата задача може да се реши и без тригонометрия .

[mail_dinko]

Евва е права, за първата задача може от вписания ъгъл и съотв. дъга да се намери централния ъгъл - прав ъгъл. След което се намира чрез теоремата на Питагор катетът в правоъгъл. равнобедрен. После от лицето изразено чрез катетите намираме височината от лицето изразено, чрез хипотенуза и височина към нея

[mail_dinko]

Втората задача - от това, че имаме радиус на вписана окр. и равностр. тригълник, както и като знаем, че медицентърът дели медианите в съотн. 2:1 считано от върха, определяме CM=3r=30. От правоъгълния тригълник AMB и ъгъл 60 градуса - означаваме MB=x, BC=2x, от питагоровата теорема се намира [tex]MB= 10 \sqrt {3}[/tex]
[tex]AB=20 \sqrt {3}[/tex]
[tex]S \triangle = \frac 12 . 20 \sqrt {3} .30 = 300 \sqrt {3}[/tex]
[tex]R = \frac {a^3}{4S} = \frac {20 \cancel {.20.20.3} \cancel {\sqrt {3}}}{ \cancel {4.300} \cancel {\sqrt {3}}}[/tex]
R=20

[Knowledge Greedy]

Бих искала да използвам темата за да попитам и аз една задача, която се опитах да реша, но преподавателката ми върна отговор, че не е вярна. В равностранен триъгълник е вписана окръжност с радиус 10 см. Намерете радиуса на описаната окръжност около триъгълника и височината му. Благодаря Ви предварително.

Дали въпросът не е бил за устно решаване?

В равностранен триъгълник центровете на вписаната и описаната окръжност съвпадат. Те съвпадат и с ортоцентъра, и с медицентъра. Това означава, че височината е сбор на двата радиуса.

[tex]h=R+r[/tex]

И още означава, че височината е и медиана - значи [tex]R:r=2:1[/tex]

Следователно [tex]R=20[/tex] см и [tex]h=30[/tex] см.