Окръжност описана около триъгълник

[TedyTod]

Вътрешната и външната ъглополовяща при върха C на [tex]\triangle[/tex]ABC (AC[tex]\ne[/tex]BC) пресичат описаната около триъгълника окръжност съответно в точките P и K . Докажете, че отсечката PK е диаметър на окръжността.
Благодаря предварително!

[mail_dinko]

Прави си чертеж. След което означаваме с [tex]\angle BCA = \alpha[/tex]. Съседният му външен ъгъл е с мярка [tex]\angle MCB=180 ^\circ - \alpha[/tex]
Построяваме двете ъглополовящи съгласно условието. След което нанасяме мерките на половинките ъгли. Така се получава
[tex]\angle PCK = \angle PCB + \angle BCK =\cancel { \frac {\alpha}{2}} + 90 ^\circ \cancel {- \frac {\alpha}{2}} = 90 ^\circ[/tex]
Това е вписан ъгъл, следователно съответстваща му дъга PK = 180 градуса. Тя отговаря на най-голямата хорда в окр. - това е диаметърът.