Доказване

[Гост]

Нека AM и CK са височини на остроъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex]BAC=70[tex]^\circ[/tex]
а) Докажете, че точките A, K, M и C лежат на една окръжност.
б) Намерете мерките на [tex]\angle[/tex]AMK и [tex]\angle[/tex]BMK.

[S.B.]

Нека AM и CK са височини на остроъгълния [tex]\triangle[/tex]ABC с [tex]\angle[/tex]BAC=70[tex]^\circ[/tex]
а) Докажете, че точките A, K, M и C лежат на една окръжност.
б) Намерете мерките на [tex]\angle[/tex]AMK и [tex]\angle[/tex]BMK.

Без заглавие - 2020-06-03T163118.711.png (244.13 KiB) Прегледано 269 пъти

а) От [tex]AM \bot BC , CK\bot AB \Rightarrow[/tex] отсечката $AC$ се вижда под ъгъл $90^\circ$
$\Rightarrow т.M$ и $т.K$ принадлежат на окръжност с диаметър $AC$
$\Rightarrow$ точките $A,C,M,K$ лежат на окръжност с диаметър $AC$

б)От $\triangle ACK \rightarrow \angle CAK = 70^\circ , \angle CKA = 90^\circ \Rightarrow \angle ACK = 20^\circ$
$\angle AMK$ и $\angle ACK$ се измерват с една и съща дъга $AK \Rightarrow \angle AMK = \angle ACK = 20^\circ$
$\angle AMK + \angle BMK = 90^\circ \Leftrightarrow 20^\circ + \angle BMK = 90^\circ \Rightarrow BMK = 70^\circ$