Вписан и описан триъгълник

[Гост]

Окръжност [tex]k{}[/tex](O) е описана около равнобедрените [tex]\triangle[/tex] ABC и [tex]\triangle[/tex]ABD с обща основа AB , като точка O е вътрешна за [tex]\triangle[/tex] ABC. Окръжност [tex]k{1 }[/tex](J) е вписана в триъгълник ABD. Ако [tex]\angle[/tex] JAD =[tex]\angle[/tex] OAB намерете [tex]\angle[/tex]AOC

[S.B.]

Окръжност [tex]k{}[/tex](O) е описана около равнобедрените [tex]\triangle[/tex] ABC и [tex]\triangle[/tex]ABD с обща основа AB , като точка O е вътрешна за [tex]\triangle[/tex] ABC. Окръжност [tex]k{1 }[/tex](J) е вписана в триъгълник ABD. Ако [tex]\angle[/tex] JAD =[tex]\angle[/tex] OAB намерете [tex]\angle[/tex]AOC

Без заглавие - 2020-06-14T111009.236.png (279.22 KiB) Прегледано 332 пъти

[tex]CD = 2R \Rightarrow \angle CAD = 90^\circ , AO = OC = OD = R[/tex]
$ CD\bot AB ,CD \cap AB = H$
$J$ център на вписаната окр.$k_{1 } \Rightarrow JA$ е ъглополовяща и $\angle JAH = \angle JAD = \alpha$
По условие $\angle JAD = \angle OAB \Rightarrow \angle OAB = \alpha \Rightarrow \angle OAD = 3\alpha$
За $\triangle AOD \rightarrow AO = OD = R \Rightarrow \angle ADO = \angle DAO = 3\alpha \Rightarrow \angle AOC = 6\alpha$ като външен ъгъл за $\triangle AOD$
От $\triangle AHD \rightarrow \angle AHD = 90^\circ \Rightarrow \angle DAH + \angle HDA = 90^\circ \Leftrightarrow 2\alpha + 3\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 18^\circ$
$\angle AOC = 6\alpha \Rightarrow \angle AOC = 6.18^\circ$
$$\angle AOC = 108^\circ$$

[Davids]

От $\triangle AHD \rightarrow \angle AHD = 90^\circ \Rightarrow \angle DAH + \angle HDA = 90^\circ \Leftrightarrow 2\alpha + 3\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 18^\circ$

Може също и от $\triangle AHO \Rightarrow \angle AOC = 6\alpha = 90° + \alpha$ като външен ъгъл. . Много добро решение иначе!

[Гост]

Благодаря!

[Гост]