Четириъгълник, описан около окръжност

[Гост]

Даден е трапец, описан около окръжност. Докажете, че дължината на височината на трапеца е равна на диаметъра на окръжността и намерете радиуса й.

snimka.PNG (12.45 KiB) Прегледано 480 пъти

Нека трапецът е ABCD, а OM и OP са разстоянията от центъра O на вписаната окръжност до основите AB и CD. Щом OM[tex]\bot[/tex]AB, OP[tex]\bot[/tex]CD и AB||CD, то точките M, O и P лежат на една права. Тогава MP е едновременно височина на трапеца и диаметър на окръжността.

Не мога да разбера как разбрахме, че точките M, O и P лежат на една права. Може би трябва да използваме някоя теорема, но не мога да се сетя коя. Сещам се за няколко:
-ако някаква права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата
-през две точки минава единствена права
-през точка, нележаща на дадена права, минава само една, перпендикулярна на дадената (това е вярно май и ако точката лежи на дадената права)

[Гост]

Като го начертая го виждам, че е така, но ми е трудно като описвам решенията. Кое е най-краткото?

[S.B.]

Даден е трапец, описан около окръжност. Докажете, че дължината на височината на трапеца е равна на диаметъра на окръжността и намерете радиуса й.

Прикачения файл snimka.PNG вече е недостъпен

Нека трапецът е ABCD, а OM и OP са разстоянията от центъра O на вписаната окръжност до основите AB и CD. Щом OM[tex]\bot[/tex]AB, OP[tex]\bot[/tex]CD и AB||CD, то точките M, O и P лежат на една права. Тогава MP е едновременно височина на трапеца и диаметър на окръжността.

Не мога да разбера как разбрахме, че точките M, O и P лежат на една права. Може би трябва да използваме някоя теорема, но не мога да се сетя коя. Сещам се за няколко:
-ако някаква права е перпендикулярна на една от две успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата
-през две точки минава единствена права
-през точка, нележаща на дадена права, минава само една, перпендикулярна на дадената (това е вярно май и ако точката лежи на дадената права)

Без заглавие - 2020-06-14T222929.337.png (238.11 KiB) Прегледано 472 пъти

Използвай,че центърът на вписаната окръжност е пресечна точка на ъглополовящите.[tex]CO[/tex] и $BO$ са ъглополовящи.Тогава $O$ е на равни разстояния от раменете на ъглите :
$ON \bot CD , OQ\bot BC , ON = OQ = r$
$OM \bot AB , OQ \bot BC ,OM = OQ = r$
$ OM\bot AB ,ON \bot CD ,AB || CD \Rightarrow M, N$ принадлежат на един и същи перпендикуляр през т.$O$ към успоредните прави $AB$ и $CD$
$OM = ON = r \Rightarrow MN = 2r$
Извинявай, но съм заменила $P$ с $N$ - недоглеждане от моя страна!