Задача 8 клас среди на отсечки

[Tinyo0]

Да се докаже, че средите на страните на всеки успоредник за върхове на успоредник.

Ще съм страшно благодарен, ако ми помогнете с тази задача

[Гост]

Резултатът е известен като теорема на Вариньон. Важи за произволен четириъгълник (изпъкнал и вдлъбнат). Просто построй диагоналите и приложи теоремата за средната отсечка.

www.PNG (59.04 KiB) Прегледано 1581 пъти

[S.B.]

Да се докаже, че средите на страните на всеки успоредник за върхове на успоредник.

Ще съм страшно благодарен, ако ми помогнете с тази задача

Без заглавие - 2020-11-15T071402.560.png (197.25 KiB) Прегледано 1562 пъти

Задачата е простичка,но човек трябва да знае признаците по които да познае ,че един четириъгълник е успоредник:

Признаци кога един ЧЕТИРИЪГЪЛНИК е УСПОРЕДНИК
1)Един четириъгълник е успоредник ако срещуположните му страни са 2 по 2 успоредни
2) Един четириъгълник е успоредник тогава когато срещуположните му страни са 2 по 2 равни
3) Един четириъгълник е успоредник,тогава когато една двойка срещуположни страни са хем успоредни,хем равни
4) Един четириъгълник е успоредник,когато диагоналите му се разполовяват

Всичките тези ПРИЗНАЦИ се изучават в 7 клас.

Аз избирам да доказвам по признак $3$ , а ти спокойно можеш да пробваш по някой от останалите признаци!
Разглеждам [tex]\triangle ABD[/tex]
$М$ е среда на $AB, Q$ е среда на $AD \Rightarrow MQ $ е средна отсечка $\Rightarrow MQ||BD , MQ = \frac{BD}{2}$

Разглеждам $\triangle BCD$
$N$ е среда на $BC, P$ е среда на $CD \Rightarrow NP$ е средна отсечка $\Rightarrow PN || BD , PN = \frac{BD}{2}$
$\begin{array}{|l} MQ||BD \\ PN||BD \end{array} \Rightarrow MQ||PN , \begin{cases} MQ =\displaystyle \frac{BD}{2} \\ PN = \displaystyle\frac{BD}{2} \end{cases} \Rightarrow MQ = PN $

От $\begin{cases} MQ || PN \\ MQ = PN \end{cases}$ по признак $3 \Rightarrow$ ,че четириъгълникът $MNPQ$ е УСПОРЕДНИК

[Гост]

бонус задача: ако лицето на новообразувания успоредник е 1, да се намери лицето на изходящия четириъгълник.

[S.B.]

бонус задача: ако лицето на новообразувания успоредник е 1, да се намери лицето на изходящия четириъгълник.

Без заглавие - 2020-11-15T204621.981.png (225.64 KiB) Прегледано 1515 пъти

Тъй като не е казано,че "бонус задачата " е за 8 клас,ще използвам тригонометрия:

[tex]S_{MNPQ } = MN.NP.sin\angle MNP ,S_{ABCD } = AC.BD. sin\angle AOD[/tex]
$MN = \frac{AC}{2} = \frac{d_{1 }}{2} , NP = \frac{BD}{2} = \frac{d_{2 }}{2} , \angle MNP = \varphi$
Но $\angle DOA = \angle MNP$ като ъгли с взаимно успоредни рамене $\Rightarrow \angle DOA = \varphi$
$S_{MNPQ } = \frac{d_{1 }}{2}.\frac{d_{2 }}{2}.sin\varphi = 1 \Rightarrow d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi = 4 $
Но $S_{ABCD } = d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi \Rightarrow S_{ABCD } = 4$

[Tinyo0]

Да се докаже, че средите на страните на всеки успоредник за върхове на успоредник.

Ще съм страшно благодарен, ако ми помогнете с тази задача

Без заглавие - 2020-11-15T071402.560.png

Задачата е простичка,но човек трябва да знае признаците по които да познае ,че един четириъгълник е успоредник:

Признаци кога един ЧЕТИРИЪГЪЛНИК е УСПОРЕДНИК
1)Един четириъгълник е успоредник ако срещуположните му страни са 2 по 2 успоредни
2) Един четириъгълник е успоредник тогава когато срещуположните му страни са 2 по 2 равни
3) Един четириъгълник е успоредник,тогава когато една двойка срещуположни страни са хем успоредни,хем равни
4) Един четириъгълник е успоредник,когато диагоналите му се разполовяват

Всичките тези ПРИЗНАЦИ се изучават в 7 клас.

Аз избирам да доказвам по признак $3$ , а ти спокойно можеш да пробваш по някой от останалите признаци!
Разглеждам [tex]\triangle ABD[/tex]
$М$ е среда на $AB, Q$ е среда на $AD \Rightarrow MQ $ е средна отсечка $\Rightarrow MQ||BD , MQ = \frac{BD}{2}$

Разглеждам $\triangle BCD$
$N$ е среда на $BC, P$ е среда на $CD \Rightarrow NP$ е средна отсечка $\Rightarrow PN || BD , PN = \frac{BD}{2}$
$\begin{array}{|l} MQ||BD \\ PN||BD \end{array} \Rightarrow MQ||PN , \begin{cases} MQ =\displaystyle \frac{BD}{2} \\ PN = \displaystyle\frac{BD}{2} \end{cases} \Rightarrow MQ = PN $

От $\begin{cases} MQ || PN \\ MQ = PN \end{cases}$ по признак $3 \Rightarrow$ ,че четириъгълникът $MNPQ$ е УСПОРЕДНИК

В 7 клас, когато от МОН казаха, че успоредник и ромб отпадат от НВО, учителката ми по математика , както и много други, просто не преподадоха този материал, а започнаха да ни подготвят за изпита. Това е причината да имам пропуски на този материа. Просто не съм го учил.

[S.B.]

В 7 клас, когато от МОН казаха, че успоредник и ромб отпадат от НВО, учителката ми по математика , както и много други, просто не преподадоха този материал, а започнаха да ни подготвят за изпита. Това е причината да имам пропуски на този материа. Просто не съм го учил.

Математиката е верига и просто е недопустимо да се откъсне една брънка от нея.Това,че успоредник и ромб са отпаднали от НВО съвсем не означава,че са отпаднали от изобщо от геометрията.Успоредникът има и други "братовчеди" които се изучават в 7 клас - правоъгълник и квадрат.Съветвам те да отвориш учебника за 7 клас и да наваксаш материала,защото НВО отмина,но материалът за четириъгълници няма да отпадне от учебните програми и ще те тормози до 12 клас включително,когато ще започнеш да се занимаваш и със стереометрия.

[S.B.]

бонус задача: ако лицето на новообразувания успоредник е 1, да се намери лицето на изходящия четириъгълник.

Без заглавие - 2020-11-15T204621.981.png

Тъй като не е казано,че "бонус задачата " е за 8 клас,ще използвам тригонометрия:

[tex]S_{MNPQ } = MN.NP.sin\angle MNP ,S_{ABCD } = AC.BD. sin\angle AOD[/tex]
$MN = \frac{AC}{2} = \frac{d_{1 }}{2} , NP = \frac{BD}{2} = \frac{d_{2 }}{2} , \angle MNP = \varphi$
Но $\angle DOA = \angle MNP$ като ъгли с взаимно успоредни рамене $\Rightarrow \angle DOA = \varphi$
$S_{MNPQ } = \frac{d_{1 }}{2}.\frac{d_{2 }}{2}.sin\varphi = 1 \Rightarrow d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi = 4 $
Но $S_{ABCD } = d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi \Rightarrow S_{ABCD } = 4$

Допуснала съм грешка и ще коригирам мнението си:
[tex]S_{ABCD } = \frac{AC.BD}{2}.sin\varphi \Leftrightarrow S_{ABCD } = \frac{d_{1 }.d_{2 }}{2}.sin\varphi \Rightarrow 2S_{ABCD } = d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi[/tex]
Но както показах по-горе $S_{MNPQ } = \frac{d_{1 }}{2}\frac{d_{2 }}{2}.sin\varphi = 1 \Rightarrow d_{1 }.d_{2 }.sin\varphi = 4$
$\begin{cases} 2S_{ABCD } = d_{1 } d_{2 }sin\varphi\\ d_{1 }d_{2 }sin\varphi = 4 \end{cases} \Rightarrow S_{ABCD } = 2$

Още веднъж се извинявам за допуснатата грешка!

[math10.com]

И тъй като темата е за 8-ми клас и не е никак лесно да обясним тригонометрията на осмокласниците, нека дадем решението на бонус задачата с метериал за 8-ми клас.

Нещата са простички.Нека разгледаме един произволен триъгълник и построим трите му средни отсечки.По този начин разделихме дадния триъгълник на 4 по-малки триъгълника.Използвайки свойството на средните отсечки по трети признак за еднаквост на триъгълници се доказва , че тези 4 малки триъгълника са еднакви.От тук следва ,че лицата им равни и лицето на всеки един от тях е 4 пъти по малко от лицето на целия.

Отиваме към задачата.Построяваме диагоналите на четириъгълника [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] и средните отсечки в [tex]\triangle ABC ,\triangle BCD ,\triangle CDA ,\triangle DB[/tex].Сега като използваме теоремата от горе ще забележим , че сбора на лицата на триъгълниците образувани от срещуположни връх на четириъгълника и средите на страните образували този връх е [tex]\frac{1}{4}[/tex] от лицето на четириъгълника.Тогава четириъгълника с върхове средите на дадения ще има лице равно на половината от лицето на дадения.

[Гост]

Да, по-скоро задачата беше към Tinyo за допълнително упражнение на тема средни отсечки.
Значи можем да разширим теоремата така:
Средите на страните на всеки четириъгълник са върхове на успоредник, чието лице е половината от лицето на четириъгълника.
Можем ли обаче да сравним техните периметри?

[S.B.]

И тъй като темата е за 8-ми клас и не е никак лесно да обясним тригонометрията на осмокласниците, нека дадем решението на бонус задачата с метериал за 8-ми клас.

Напълно сте прав ,колега!Осмокласниците заслужават по-простичко и нагледно решение , съобразено с тяхните знания

Без заглавие - 2020-11-16T203128.257.png (274.05 KiB) Прегледано 1454 пъти

Нека означим [tex]BD = d_{1 },AC = d_{2 } , AH_{1 } = h_{1 } ,BH_{2 } = h_{2 },S_{ABCD } = S[/tex]
$\triangle ABD \cong \triangle BCD \Rightarrow S = 2S_{ABD }$
$S_{ABD } = \frac{BD.AH_{1 }}{2} = \frac{d_{1 }.h_{1 }}{2} \Rightarrow S = d_{1 }.h_{1 }$
$S_{AMQ } = \frac{QM.AK_{1 }}{2}$, но $QM$ е средна отсечка в $\triangle ABD \Rightarrow MQ = \frac{d_{1 }}{2}, AK_{1 } = \frac{h_{1 }}{2}$
Получихме ,че $S_{AMQ } = \frac{1}{2}.\frac{d_{1 }}{2}.\frac{h_{1 }}{2} = \frac{1}{8}.d_{1 }.h_{1 } = \frac{S}{8}$
$\triangle AMQ \cong \triangle PNC \Rightarrow S_{AMQ } + S_{PNC } = \frac{S}{4}$
$S_{ABC } = \frac{AC.BH_{2 }}{2} = \frac{d_{2 }.h_{2 }}{2}$
$\triangle ABC \cong \triangle ACD \Rightarrow S = 2S_{ABC }\Rightarrow S = d_{2 }.h_{2 }$
$S_{MNB } = \frac{MN.BK_{1 }}{2}$ , но $MN$ е средна отсечка в $\triangle ABC \Rightarrow MN = \frac{d_{2 }}{2}, BK_{2 } = \frac{h_{2 }}{2}$
$S_{MNB } = \frac{1}{2}.\frac{d_{2 }}{2}.\frac{h_{2 }}{2} = \frac{1}{8}.d_{2 }.h_{2 } \Rightarrow S_{BMN } = \frac{S}{8}$
$\triangle MNB \cong \triangle PQD \Rightarrow S_{BNM} + S_{PQD } = \frac{S}{4}$
$S = 2.\frac{S}{4} + 1\Leftrightarrow 2S = S + 2\Rightarrow S = 2$
$$S_{ABCD } = 2$$

[S.B.]

....Можем ли обаче да сравним техните периметри?

Без заглавие - 2020-11-15T071402.560.png (197.25 KiB) Прегледано 1435 пъти

От [tex]\triangle AMQ \rightarrow MQ < AM + AQ[/tex]
От $\triangle BMN\rightarrow MN < BM + BN$
От $\triangle CNP \rightarrow NP < NC + CP$
От $\triangle DPQ \rightarrow PQ < DP + QD$
Чрез почленно събиране се получава:
$MQ + MN + NP + PQ < AM + BM + BN + NC + CP + DP +DQ + AQ$
$P_{MNPQ } < AB + BC + CD + AD $
$P_{MNPQ } < P_{ABCD }$
Това решение го правя от уважение към Вас.Както забелязвате Tinyo въобще не се интересува от поставените от Вас бонус задачи.Той има свое оправдание - с нареждане на МОН разделът "ЧЕТИРИЪГЪЛНИЦИ" е отпаднал от НВО и се учи само до там ,до където е спряла да преподава "госпожата" в 7 клас!А иначе образованието е стабилно,децата знаят, показаха хубави резултати на НВО и всичко е наред!