Средна основа на трапец

[soti58]

Даден е трапец ABCD. Ъгъл ADC=120 градуса.AB=AD=2*CD. M e среда на AD. CH е височина в триъгълника BMC. CH=3cm. Да се намери средната основа на трапеца.

[Nathi123]

Нека CD = x ,AB=AD=2CD=2x [tex]\angle ADC=120^\circ\Rightarrow \angle DAB=60^\circ ; AM=MD=x;AD=AB\Rightarrow \angle ADB=\angle ABD=60^\circ \Rightarrow[/tex]
[tex]BD=AD=AB=2x;\angle ABD=\angle BDC = 60^\circ ;MD=DC=x\Rightarrow \angle DCM=\angle DMC=30^\circ ;AC\cap BD=O\Rightarrow \angle DOC=\angle DOM=90^\circ[/tex]
[tex]\triangle DOC\Rightarrow DO=\frac{1}{2}DC=\frac{x}{2}; OC^{2}=x^{2}-\frac{x^{2}}{4}=\frac{3x^{2}}{4}\Rightarrow OC=\frac{x\sqrt{3}}{2};OC=OM\Rightarrow[/tex]
[tex]MC=x\sqrt{3}[/tex] (по новата програма Т на Питагор се учи в 6 клас ). [tex]BO= BD-DO=2x-\frac{x}{2}=\frac{3x}{2};2S\triangle BCM = AC.OB=BM.CH[/tex]
[tex]\triangle AMB\Rightarrow BM^{2}=4x^{2}-x^{2}=3x^{2}\Rightarrow BM=x\sqrt{3}\Rightarrow x\sqrt{3}.3=x\sqrt{3}.\frac{3x}{2}\Leftrightarrow x=2[/tex]
Средната отсечка в трапеца е MN = [tex]\frac{1}{2}( x+2x)=3x\frac{1}{2}\Rightarrow MN =3[/tex].

[Евва]

(2 начин)
ABCD-трапец [tex]\Rightarrow[/tex] Сборът на прилежащите ъгли [tex]\angle[/tex]BAD и [tex]\angle[/tex]ADC е 180[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]BAD+[tex]\angle[/tex]120[tex]^\circ[/tex] =180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex] (1)
Да означим т.N-среда на отсечката ВС,AB=AD=2b,CD=b.Нека DP е височина на трапеца .(т.Р лежи на правата АВ)
MN=?
От AB=AD и [tex]\angle[/tex]BAD=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]ABD е равностранен ,тогава височината DP се явява и медиана в [tex]\triangle[/tex]ABD т.е. BP=AP=b (2)
(Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]APM) AP=b=AM , [tex]\triangle[/tex]APM е равнобедрен с ъгъл при върха [tex]\angle[/tex]МАР=60[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АРМ е равностранен,тогава MP=b (3) и [tex]\angle[/tex]AMP=[tex]\angle[/tex]APM=60[tex]^\circ[/tex] (4)
([tex]\angle[/tex]ВРМ е съседен на [tex]\angle[/tex]АРМ) [tex]\angle[/tex]ВРМ=180[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]ВРМ=120[tex]^\circ[/tex] (5)
Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]PBM и [tex]\triangle[/tex]MCD
1.PB=CD=b (виж 2)
2.PM=DM=b (виж3)
3.[tex]\angle[/tex]BPM=[tex]\angle[/tex]MDC=120[tex]^\circ[/tex] (виж5) [tex]\Rightarrow[/tex] по 1 признак [tex]\triangle[/tex]PBM[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]MCD [tex]\Rightarrow[/tex] MB=MC (6)

Да докажем,че [tex]\triangle[/tex]МВС е равностранен.
От (2) ,(3) и (5) намираме [tex]\angle[/tex]ВМР в [tex]\triangle[/tex]РМВ ; [tex]\angle[/tex]ВМР=30[tex]^\circ[/tex] (7)
По същия начин намираме [tex]\angle[/tex]DMC=30[tex]^\circ[/tex] (8)
[tex]\angle[/tex]BMC=
[tex]\angle[/tex]AMD=180[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]AMP+[tex]\angle[/tex]PMB+[tex]\angle[/tex]BMC+[tex]\angle[/tex]CMD=180[tex]^\circ[/tex]
60[tex]^\circ[/tex]+30[tex]^\circ[/tex]+[tex]\angle[/tex]BMC+30[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]BMC=60[tex]^\circ[/tex] (9)
От (6) и (9) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]МВС е равностранен
([tex]\triangle[/tex]MBC) Тогава медианата MN =височината CH(която се явява и медиана CH) .
Доказахме,че MN=CH
MN=3 см.