Вписан ъгъл. Задача

[Diana19]

В окръжност к с център О и с диаметър CD е вписан остроъгълен триъгълник ABC с височина CH. Лъчът CH пресича к в точка N. Докажете, че дъгата AD=BN

[S.B.]

В окръжност к с център О и с диаметър CD е вписан остроъгълен триъгълник ABC с височина CH. Лъчът CH пресича к в точка N. Докажете, че дъгата AD=BN

Без заглавие - 2021-02-19T112832.912.png (269.38 KiB) Прегледано 279 пъти

$CD$ е диаметър [tex]\Rightarrow \angle CBD = 90^\circ, \angle CDB = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{CB}}{2}, \angle DCB = 90^\circ - \angle CDB[/tex]
За правоъгълния $\triangle AHC \rightarrow \angle CAH = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{CB}}{2} \Rightarrow \angle ACH = 90^\circ - \angle CAH$
Получихме $\angle CAB = \angle CDB $ и $\angle ACH = \angle DCB $
$\angle ACH = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AN}}{2}$ , $\angle BCD = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{DB}}{2}$
От $\angle ACH = \angle BCD \Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AN} = \overset{\displaystyle\frown}{DB}$
$\overset{\displaystyle\frown}{AN} + \overset{\displaystyle\frown}{ND} = \overset{\displaystyle\frown}{AD}$
$\overset{\displaystyle\frown}{BD} + \overset{\displaystyle\frown}{ND} = \overset{\displaystyle\frown}{ND}$
$$\Rightarrow \overset{\displaystyle\frown}{AD} = \overset{\displaystyle\frown}{BN}$$