Периферен ъгъл

[Diana19]

В окръжност к диаметърът АВ е перпиндикулярен на хорда CD, H е общата им точка, а t е допирателната на к през точка С. Точките P и Q са петите на перпендикулярите, спуснати съответно от А и В към t. Да се докаже, че <PHQ=90[tex]^\circ[/tex]
Има упътване, да се докаже, че HC=QC=PC. Сещам се за QC=PC, но HC не знам как да го докажа, че е равно.

[Nathi123]

t-допирателна към окръжността в т.С,тогава ОС=R -радиус на окръжността и OC [tex]\bot \Rightarrow AQ||BP ; AO=OB=R\Rightarrow QC=CP[/tex]
[tex]AB\bot CD\Rightarrow CH=DH\Rightarrow \angle DOH=\angle COH\Rightarrow[/tex]хордата ВС = хордата BD[tex]\Rightarrow \angle DCB=\angle =\frac{1}{2}[/tex] =дъгВД
(вписан в к ); [tex]\angle BCP=\frac{1}{2}[/tex] дъг.BC ( периферен за к).[tex]\Rightarrow \triangle CHB\cong \triangle CPB\Rightarrow CH=CP=CQ\Rightarrow \angle QHP=90^\circ[/tex].

[S.B.]

В окръжност к диаметърът АВ е перпиндикулярен на хорда CD, H е общата им точка, а t е допирателната на к през точка С. Точките P и Q са петите на перпендикулярите, спуснати съответно от А и В към t. Да се докаже, че <PHQ=90[tex]^\circ[/tex]
Има упътване, да се докаже, че HC=QC=PC. Сещам се за QC=PC, но HC не знам как да го докажа, че е равно.

Без заглавие - 2021-02-26T111821.837.png (315.86 KiB) Прегледано 229 пъти

Ето и още един поглед върху задачата:

[tex]AB \bot CD , AB\cap CD = H \Rightarrow CH = DH , CA = AD[/tex]
От $\begin{cases} AP \bot t\\ BQ\bot t\\R = CO \bot t \end{cases} \rightarrow AP || BQ || OC$
От трапеца $ABQP \rightarrow т.O$ е среда на $AB, OC || BQ ,C\in PQ \Rightarrow т.C$ е среда на $PQ$
$ \Rightarrow PC = QC$

$\triangle PCA\cong \triangle AHD$ по втори признак:
1)$AC = AD$
2)$\angle APC = \angle AHD = 90^\circ$
3)$\angle PCA =\displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{AC}}{2}$ (периферен);
$\angle HDA = \angle CDA = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AC}}{2}$ (вписан)
$\Rightarrow \angle PCA = \angle HDA$
От еднаквостта на триъгълниците $\rightarrow DH = PC$
Но $DH = CH \Rightarrow CH = PC$

Получихме $CH = PC = CQ \Rightarrow \triangle PHQ$ е правоъгълен $$\Rightarrow \angle PHQ = 90^\circ$$