Задача за трапец

[Гост]

Даден е трапецът ABCD (AB || CD). Точката М е от бедрото AD и AM : MD = 3 : 1. През точката М е построена права, успоредна на AB, която пресича бедрото BC в точка N. Ако AB = 30 см и CD = 14 см, намерете дължината на отсечката MN в сантиметри.

[Евва]

Да отбележим точките Е,Р,М върху отсечката AD така ,че AE=EP=PM=MD=[tex]\frac{AD}{4}[/tex] .
През точките Е,Р и М построяваме прави ||AB ,които пресичат бедрото ВС съответно в точките F,T и N .
Нека EF=b ,PT=a ,MN=x
MN=?
Така построената отс.MN е средна отсечка на трапеца PTCD [tex]\Rightarrow[/tex] x=[tex]\frac{a+14}{2}[/tex]
Така построената отс.PT е средна отсечка на трапеца EFNM [tex]\Rightarrow[/tex] а=[tex]\frac{b+x}{2}[/tex]
Така построената отс.EF е средна отсечка на трапеца ABTP [tex]\Rightarrow[/tex] b=[tex]\frac{30+a}{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x = \frac{a+14}{2} \\b=2a-x\\ b = \frac{30+a}{2} (@@)\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x = \frac{a+14}{2} \\ 2a-x = \frac{30+a}{2} \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} 2x = a+14 \\ 4a-2x=30+a \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a = 2x-14 \\ a = \frac{2x+30}{3} (@)\end{array}[/tex]

2x-14=[tex]\frac{2x+30}{3}[/tex] ;6x-42=2x+30 ;x=[tex]\frac{72}{4}[/tex]=18 см.
Лесно можем да намерим от (@) ,че а=22 см. и от (@@) ,че b=26 см.
Отговор :18 см.