Общи задачи върху ,,Окръжност"

[Гост]

Точките A, B, C и D, взети в този ред, са точки от окръжността k. Точките M, N, P и Q са средите съответно на дъгите AB, BC, CD и DA. Да се докаже, че хордите MP и NQ са перпендикулярни

[Гост]

Не липсва ли нещо в условието? МNPQ е успоредник ! Диагоналите му MP и NQ ще са перпендикулярни,само ако този успоредник е ромб или квадрат!

[S.B.]

Точките A, B, C и D, взети в този ред, са точки от окръжността k. Точките M, N, P и Q са средите съответно на дъгите AB, BC, CD и DA. Да се докаже, че хордите MP и NQ са перпендикулярни

Без заглавие - 2021-03-02T225305.175.png (198.33 KiB) Прегледано 599 пъти

[tex]\angle PKN = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{PN} + \overset{\displaystyle\frown}{QM}}{2}[/tex]
$\overset{\displaystyle\frown}{PN} = \overset{\displaystyle\frown}{PC} + \overset{\displaystyle\frown}{NC} = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{DC}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC}}{2} $

$\overset{\displaystyle\frown}{QM} = \overset{\displaystyle\frown}{AM} + \overset{\displaystyle\frown}{AQ} = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AB}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AD}}{2} $

$\angle PKN = \displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{DC}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{BC}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AB}}{2} + \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{AD}}{2}) = \displaystyle\frac{1}{2}.180^\circ = 90^\circ$