Окръжност описана около триъгълник

[Viki127]

Около [tex]\triangle[/tex] ABC с ъгли [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] е описана окръжност. Симетралите на страните BC, CA, AB пресичат принадлежащите на тези страни дъги съответно в точките A1, B1, C1. Намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex] A1B1C1.

[S.B.]

Около [tex]\triangle[/tex] ABC с ъгли [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] е описана окръжност. Симетралите на страните BC, CA, AB пресичат принадлежащите на тези страни дъги съответно в точките A1, B1, C1. Намерете ъглите на [tex]\triangle[/tex] A1B1C1.

Без заглавие - 2021-04-14T151810.131.png (325.5 KiB) Прегледано 627 пъти

Симетралите [tex]S_{AB }, S_{BC }, S_{AC }[/tex] разполовяват дъгите които пресичат в точките [tex]C_{1 }, A_{1 }, B_{1 }[/tex].
За $\triangle A_{1 } B_{1 } C_{1 } \rightarrow$
$ \angle A_{1 } $ $= \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{ B_{1 } C_{1 }} }{2} = $[tex]\frac{ \beta + \gamma }{2}[/tex]

[tex]\angle B_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{ A_{1 } C_{1 } }}{2} = \displaystyle \frac{ \alpha + \gamma }{2}[/tex]

[tex]\angle C_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{ A_{1 } B_{1 } }}{2} = \displaystyle \frac{ \alpha + \beta }{2}[/tex]