Дробно уравнение

[Гост]

[tex]x^{y}[/tex]Решете уравнението чрез полагане:
[tex]\frac{x^{2+2x+3} }{ x^{2}-x+3 }[/tex]=[tex]\frac{ x^{2}+4x+3 }{ x^{2}+3 }[/tex]

[S.B.]

Решете уравнението чрез полагане:
[tex]\frac{x^{2} + 2x + 3 }{ x^{2}-x+3 }[/tex]=[tex]\frac{ x^{2}+4x+3 }{ x^{2}+3 }[/tex]

Единственото полагане,което ми идва на ум е :
[tex]x^{2} + 3 = t[/tex]
Възможно е защото [tex]x^{2} + 3 \ne 0[/tex] за [tex]\forall x[/tex]
И така!След заместване получавам:
[tex]\frac{t + 2x}{t - x} = \frac{t + 4x}{t} \Leftrightarrow t(t + 2x) = (t + 4x)(t - x) \Leftrightarrow t^{2} + 2tx = t^{2} - tx + 4tx -4 x^{2} \Leftrightarrow 2tx = 3tx - 4 x^{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]4 x^{2} - tx = 0 \Leftrightarrow x(4x - t) = 0 \Rightarrow[/tex]
[tex]x = 0 \cup 4x - t = 0 \Leftrightarrow x = 0 \cup 4x - ( x^{2} + 3) = 0[/tex] (тук си спомням,че [tex]t = x^{2} + 3[/tex] )
Уравнението се разпада на две уравнения:[tex]x = 0[/tex] и [tex]4x - x^{2} - 3 = 0[/tex]
Получавам:
1) За [tex]x = 0 \Rightarrow x_{1 } = 0[/tex]
2) За [tex]4x - x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = 0 , D = 4 , x_{2,3 } = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_{2 } = 3, x_{3 } = 1[/tex]

[peyo]

Решете уравнението чрез полагане:
[tex]\frac{x^{2} + 2x + 3 }{ x^{2}-x+3 }[/tex]=[tex]\frac{ x^{2}+4x+3 }{ x^{2}+3 }[/tex]

Единственото полагане,което ми идва на ум е :
[tex]x^{2} + 3 = t[/tex]
Възможно е защото [tex]x^{2} + 3 \ne 0[/tex] за [tex]\forall x[/tex]

Тук предполагам не делим на x защото x = 0 е един корен. Само, че аз не съм сигурен, че това е нещо лошо, затова ние ще делим на x сега и да видим какво ще стане?!

Да си представим че ще разделим всички на x САМО когато x не е 0, а е някой oт другите корени. Тогава:

[tex]\frac{x+ 2 + 3/x }{ x-1+3/x }=\frac{ x+4+3/x }{ x+3/x }[/tex]

$ x+3/x=u$

[tex]\frac{u+ 2 }{ u-1 }=\frac{ u+4 }{ u }[/tex]

[tex]u^2+ 2u =u^2+3u-4[/tex]
$u=4$

$ x+3/x=4$
$ x^2-4x+3=0$
$x_{1,2}=(4\pm \sqrt{16-12})/2= 1, 3$

Както забелязваме някъде загубихме нулата. Но ние още отначалото знаехме, че нулата е корен, затова нищо не сме загубили и получихме същите 3 отговора. Не знам това дали означава, че спокойно можем да делим на 0 и в други случаи, но мисля, че не бива да пренебрегваме такава възможност и в бъдеще.