Окръжност, вписана в триъгълник

[Гост]

.

[mail_dinko]

[tex]a-b=r[/tex]
[tex]r = \frac {a+b+c}{2}-c =\frac {a+b-c}{2}[/tex]
[tex]c = 8[/tex] - по условие
[tex]a-b=\frac {a+b-8}{2}[/tex]
[tex]2a-2b = a + b - 8 \Leftrightarrow a-3b = -8[/tex]
[tex]a^2+b^2 = 8^2 \Leftrightarrow (3b-8)^2 + b ^2 = 64 \Leftrightarrow 9b^2 - 48b + 64 + b ^2 = 64[/tex]
[tex]10b^2 -48b = 0 \Leftrightarrow b (5b-24) = 0 \Rightarrow \boxed {b = \frac {24}{5}}[/tex]
[tex]a = 3b -8 = \frac {72-40}{5} \Rightarrow \boxed { a = \frac {32}{5}}[/tex]
[tex]sin \alpha = \frac {a}{c} = \frac {32}{5.8} = \frac {4}{5}[/tex]
[tex]sin \beta = \frac {b}{c} = \frac {24}{5.8} = \frac {3}{5}[/tex]

[Евва]

4 зад. Не е ли дадено a-b=2r ?
Получих ъгли на триъгълника 30[tex]^\circ[/tex] ,60[tex]^\circ[/tex] и 90[tex]^\circ[/tex] .

[S.B.]

Нека $a > b$
[tex]\begin{array}{|l} a - b = 2r \\ 2c + 2r = P \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a - b = 2r \\ 16 + 2r = a + b + 8 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a - b = 2r\\ a + b = 2r +8 \end{array}[/tex] Почленно се събира и се получава:
[tex]-2b = - 8 \Rightarrow b = 4 = \frac{1}{2}c \Rightarrow \angle B = 30 ^\circ , \angle A = 60 ^\circ[/tex]

[S.B.]

Задача 5

Без заглавие - 2021-05-12T204201.094.png (253.77 KiB) Прегледано 433 пъти

От свойството на допирателните към окръжност от външна точка получаваме:

[tex]AQ = AP = x \Rightarrow QB = BL = 7 - x , PC = CL = 6 - x[/tex]
[tex]BC = BL + CL \Leftrightarrow5 = 7 - x + 6 - x \Leftrightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4[/tex]
[tex]P_{ \triangle MNC} = MN + NC + CM[/tex] , като $MN = MT + TN$

Пак от свойството на допирателни към окръжност от външна точка имаме:

[tex]MT = PM , NT = NL \Rightarrow MN = MT + TN \Leftrightarrow MN = PM + NL[/tex]
[tex]P_{ \triangle MNC } = MC + NC + MN \Rightarrow[/tex]
[tex]P_{ \triangle MNC}= MC + NC + (PM + NL) = (CM + MP) + (CN + NL) = CP + CL = 2.(6 - x) = 2.2 = 4[/tex]
$$P_{ \triangle MNC} = 4$$