Височина, ъглополовяща и медиана в триъгълник

[Гост]

Здравейте, може ли да ми кажете как се решават тези две задачи?

1 задача: Височината, ъглополовящата и медианата през върха C на триъгълник ABC делят ъгъла при този връх на четири равни части. Намерете ъглите на триъгълника.

2 задача: Височината и медианата през върха С на триъгълник ABC делят ъгъла при този връх на три равни части. Да се намерят ъглите на триъгълника.

Благодаря предварително

[ptj]

1.) По принцип има теорема, че височината, ъглополовяшата и медианата винаги са в същата последователност при пресичането на срещуположната страна, но в училище може да го ползваш наготово.

Тогава ако означиш с [tex]x[/tex] [tex]\frac{1}{4}[/tex] от ъгъла, то ъглите при срешуположната страна ще са съответно [tex](90 ^\circ -x)[/tex] (по близкия до пресечента точка на височината и основата) и [tex](90 ^\circ -3x)[/tex] (по-близкия до пресечената точка на медианата и основата).

Сега ако разгледаш равнобедрения тригълник включващ медианата и половината основа ще получиш [tex]x=90 ^\circ -3x[/tex].


2.) Аналогично.

[S.B.]

Здравейте, може ли да ми кажете как се решават тези две задачи?

1 задача: Височината, ъглополовящата и медианата през върха C на триъгълник ABC делят ъгъла при този връх на четири равни части. Намерете ъглите на триъгълника.

2 задача: Височината и медианата през върха С на триъгълник ABC делят ъгъла при този връх на три равни части. Да се намерят ъглите на триъгълника.

Благодаря предварително

Без заглавие - 2021-05-26T195756.232.png (451.39 KiB) Прегледано 3093 пъти

Друг поглед върху задачата

1.Задача
[tex]\angle C = 4x[/tex]
[tex]\angle ACH = \angle AC H_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{A H_{1 }} }{2} = \displaystyle \frac{2x}{2}[/tex]
[tex]\angle HCL = \angle H_{1 }C L_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{ H_{1 } L_{1 }} }{2} = \displaystyle \frac{2x}{2}[/tex]
[tex]\angle LCM = \angle L_{1 }C M_{1 } = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{ L_{1 } M_{1 } }}{2} = \displaystyle \frac{2x}{2}[/tex]
[tex]\angle MCB = M_{1 }CB = \displaystyle \frac{\overset{\displaystyle\frown}{ M_{1 }B} }{2} = \displaystyle \frac{2x}{2}[/tex]
От [tex]\triangle BHC \rightarrow \angle H = 90 ^\circ , \angle HCB = 3x \Rightarrow \angle B = 90 ^\circ - 3x[/tex]
[tex]\angle AB M_{1 } = \displaystyle\frac{\overset{\displaystyle\frown}{A M_{1 }} }{2} = \displaystyle\frac{6x}{2} = 3x[/tex]
Тогава [tex]\angle CB M_{1 } = \angle CBA + \angle AB M_{1 } = 90 ^\circ - 3x + 3x = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow M M_{1 }[/tex] е диаметър
[tex]\triangle AMC \cong \triangle BM M_{1 }[/tex] ( втори признак) [tex]\Rightarrow CM = M M_{1 } \Rightarrow M[/tex] е център на описаната окръжност
[tex]AB \cap C M_{1 } = M \Rightarrow AB[/tex] също е диаметър [tex]\Rightarrow \angle C = 90 ^\circ[/tex]
[tex]4x = 90 ^\circ \Rightarrow x = 22 ^\circ 30', \angle А = 90 ^\circ - 22 ^\circ30' , \angle B = 90 ^\circ -3( 22 ^\circ30') = . . .[/tex]

2.Задача
[tex]\angle C = 3y[/tex]
Решава се по същия начин
Отговорът е:
[tex]\angle A = 60 ^\circ , \angle B = 30 ^\circ , \angle C = 90 ^\circ[/tex]

[Гост]

Здавейте,
Може ли да ми помогнете за решаване (доказване) на едно твърдение.
Помня, че имаше една теорема, но не помня на кой е, която доказва, че:
Когато се разделят трите ъгъла на който и да е триъгълник на три равни части, в пресечните им точки са образува винаги равностранен триъгълник.
Сега ми трябва доказателство, че:
Центъра на вписаната окръжност, на какъвто и да е триъгълник (инцентъра) съвпада винаги с инцентъра на равностранният триъгълник образуван от пресечните точки от радианите разделящи всеки един от ъглите на три равни части.

Моят email: 545new@gmail.com
Петьо Христов
Благодаря ви предварително. Моля да ме информитаре, ако задачата има решение.
С уважение
Петьо Христов

[ammornil]

Центъра на вписаната окръжност, на какъвто и да е триъгълник (инцентъра) съвпада винаги с инцентъра на равностранният триъгълник образуван от пресечните точки от радианите разделящи всеки един от ъглите на три равни части.

$\\[24pt]$Не разбирам условието Ви. Радианата не разделя ъгъл на триъгълника на три, тя раздяла ъгъла на две части. $\\[12pt]$ Радианата на триъгълник е отсечката, която свързва връх на ъгъл на триъгълника с точката на допиране на вписаната в триъгълника окръжност до срещулежащата на ъгъла страна. $\\[12pt]$

Screenshot 2026-01-13 090640.png (44.51 KiB) Прегледано 383 пъти

$\\[36pt]$п.с.: Обикновено отговорите на зададени питания и проблеми се публикуват в сайта в темата на питащия. Не ми е известно да се изпращат на електронна поща.