Вписан четириъгълник

[Гост]

Отсечките CD,AM и BN са височини в тъпоъгълния триъгълник АВС с ортоцентър Н.Докажете, че около четириъгълника ABNM може да се опише окръжност и ъгъл MDC и ъгъл NDC са равни.

[Гост]

tui e te0remata na Blanchet

[Гост]

https://www.youtube.com/watch?v=PtaPF6Kideo

[KOPMOPAH]

Ортоцентър.png (29.29 KiB) Прегледано 422 пъти

Доколкото ъглите $\measuredangle AMB$ и $\measuredangle ANB$ са прави, то точките $M$ и $N$ лежат на окръжност с диаметър $AB$, с което първата част на задачата е доказана.

За да се докаже равенството на ъглите $\measuredangle MDC$ и $\measuredangle NDC$ описваме окръжността $k_1$ около четириъгълника $ADCM$ и окръжността $k_2$ около четириъгълника $BNCD$. Не е трудно да се докаже, че това е възможно, доколкото споменатите четириъгълници имат срещуположни прави ъгли.

Нататък е лесно - $\measuredangle MAC$ и $\measuredangle MDC$ са равни, защото им съответства хордата $MC$ в окръжността $k_1$, съответно $\measuredangle CDN$ и $\measuredangle CBN$ са равни, защото им съответства хордата $CN$ в окръжността $k_2$ и накрая $\measuredangle MAN=\measuredangle MAC$ и $\measuredangle MBN=\measuredangle CBN$ са равни, защото им съответства хордата $MN$ в окръжността $k$.