Делимост на 6

[Гост]

viber_изображение_2021-09-20_20-39-23-735.jpg (31.92 KiB) Прегледано 545 пъти

[KOPMOPAH]

Ако освен безсловесно публикуваната неясна снимка напишеш и няколко думи, включващи позабравените "Моля", "Ако обичате" и други, ще имаш решенията

[nikola.topalov]

Трите подточки се доказват с индукция. Нека разгледаме а). За [tex]n=1[/tex] имаме [tex]6|0[/tex], което е вярно. Допускаме, че за [tex]n=k[/tex], [tex]6|k^3-k[/tex]. Ще докажем, че е в сила и за [tex]n=k+1[/tex]. Имаме [tex](k+1)^3-(k+1)=k^3-k+3k^2+3k[/tex] и понеже сме допуснали, че [tex]6|k^3-k[/tex], то остава да докажем, че [tex]6|3k^2+3k[/tex] или [tex]2|k(k+1)[/tex]. Последното е вярно, защото [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] са две последователни естествени числа и следователно едно от тях със сигурност се дели на [tex]2[/tex]. С това доказахме, че [tex]6|n^3-n[/tex] за [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]. б) и в) дали ще можеш да ги оправиш оттук?

[S.B.]

Трите подточки се докане на мнозват с индукция. Нека разгледаме а). За [tex]n=1[/tex] имаме [tex]6|0[/tex], което е вярно. Допускаме, че за [tex]n=k[/tex], [tex]6|k^3-k[/tex]. Ще докажем, че е в сила и за [tex]n=k+1[/tex]. Имаме [tex](k+1)^3-(k+1)=k^3-k+3k^2+3k[/tex] и понеже сме допуснали, че [tex]6|k^3-k[/tex], то остава да докажем, че [tex]6|3k^2+3k[/tex] или [tex]2|k(k+1)[/tex]. Последното е вярно, защото [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] са две последователни естествени числа и следователно едно от тях със сигурност се дели на [tex]2[/tex]. С това доказахме, че [tex]6|n^3-n[/tex] за [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]. б) и в) дали ще можеш да ги оправиш оттук?

Добро доказателство,но неприложимо за 8 клас.За съжаление още не са изучавали индукция.За сметка на това са изучавали по прости неща ,като признаци за делимост на 6 и разлагане на многочлен на прости множители.
Всяко,число,което се дели едновременно на $2$ и $3$ се дели на $6$.Произведението на всеки $3$ естествени последователни числа се дели едновременно на $2$ и $3$:
[tex](n-1).n.(n+1)[/tex] е произведение на три естствени последователни числа и то ВИНАГИ се дели на $6$ (Опитай!)
а) [tex]n^{3 } - n = n( n^{2 } - 1) = n(n-1)(n+1)[/tex]
Получи се,че: $$n^{3 } - n = (n - 1).n.(n + 1)$$
Т.е. - произведение от $3$ естествени последователни числа[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]\forall n[/tex] се дели на $6$
Аналогично:
б)[tex]n^{5 } - n = n( n^{4 } - 1) = n( n^{2 } - 1)( n^{2 } + 1) = n.(n-1)(n+1)( n^{2 }+ 1) \Rightarrow[/tex]
$$n^{5 } - n = (n-1).n.(n+1).( n^{2 }+ 1) $$
в)[tex]n^{4 } + 3 n^{3 } - n^{2 } - 3n =[/tex]
[tex]= ( n^{4 } - n^{2 }) + (3 n^{3 } - 3n) = n^{2 }( n^{2 } - 1) + 3n( n^{2 }- 1) = n( n^{2 }- 1)(n + 3) = (n-1).n.(n + 1)(n + 3)[/tex]
$$n^{4 } + 3 n^{3 } - n^{2 } - 3n = (n-1).n.(n+1).(n + 3) $$

Скрит текст: покажи

И следващия път,когато ти се наложи да потърсиш помощ тук,спомни си за вълшебните думички за които споменава колегата KOPMOPAH.Той е прав!

[nikola.topalov]

Добро доказателство,но неприложимо за 8 клас.За съжаление още не са изучавали индукция.За сметка на това са изучавали по прости неща ,като признаци за делимост на 6 и разлагане на многочлен на прости множители.
Всяко,число,което се дели едновременно на $2$ и $3$ се дели на $6$.Произведението на всеки $3$ естествени последователни числа се дели едновременно на $2$ и $3$:
[tex](n-1).n.(n+1)[/tex] е произведение на три естствени последователни числа и то ВИНАГИ се дели на $6$ (Опитай!)
а) [tex]n^{3 } - n = n( n^{2 } - 1) = n(n-1)(n+1)[/tex]
Получи се,че: $$n^{3 } - n = (n - 1).n.(n + 1)$$
Т.е. - произведение от $3$ естествени последователни числа[tex]\Rightarrow[/tex] за [tex]\forall n[/tex] се дели на $6$
Аналогично:
б)[tex]n^{5 } - n = n( n^{4 } - 1) = n( n^{2 } - 1)( n^{2 } + 1) = n.(n-1)(n+1)( n^{2 }+ 1) \Rightarrow[/tex]
$$n^{5 } - n = (n-1).n.(n+1).( n^{2 }+ 1) $$
в)[tex]n^{4 } + 3 n^{3 } - n^{2 } - 3n =[/tex]
[tex]= ( n^{4 } - n^{2 }) + (3 n^{3 } - 3n) = n^{2 }( n^{2 } - 1) + 3n( n^{2 }- 1) = n( n^{2 }- 1)(n + 3) = (n-1).n.(n + 1)(n + 3)[/tex]
$$n^{4 } + 3 n^{3 } - n^{2 } - 3n = (n-1).n.(n+1).(n + 3) $$

Скрит текст: покажи

И следващия път,когато ти се наложи да потърсиш помощ тук,спомни си за вълшебните думички за които споменава колегата KOPMOPAH.Той е прав!

Сега виждам, че решението трябва да е със знания за 8ми клас. Моя грешка.