Задача 20

[Гост]

AD9E0C63-87EC-4D6F-A407-EF6C72095B3F.jpeg (1.3 MiB) Прегледано 518 пъти

Препоръчително да се реши без тригонометрия

[ammornil]

Допускаме, че правите ъгли на новопостроените правоъгълни триъгълници са при върховете, които не принадлежат на триъгълник АВС.
Дадено:
[tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\triangle ABP, \angle APB=90 ^\circ, AP=BP[/tex]
[tex]\triangle BCQ, \angle BQC=90 ^\circ, BQ=CQ[/tex]
[tex]M \in AC, AM=MC[/tex]
Търсим:
[tex]\angle MQP = ?[/tex]

Нека:
[tex]\angle BAC= \alpha, \angle ABC= \beta, \angle BCA= \gamma[/tex]
[tex]O_{1} \in AB, AO_{1}=BO_{1}[/tex], [tex]O_{2} \in BC, BO_{2}=CO_{2}[/tex]
Тогава:
[tex]MO_{1}, O_{1}O_{2}, MO_{2}[/tex]-средни отсечки в [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]AO_{1}=BO_{1}=PO_{1}[/tex], [tex]BO_{2}=CO_{2}=QO_{2}[/tex], радиуси на описаните окръжности около правоъгълните триъгълници.
[tex]MO_{1}=BO_{2}=CO_{2} \Rightarrow MO_{1}=O_{2}Q, MO_{2}=AO_{1}=BO_{1} \Rightarrow MO_{2}=PO_{1}[/tex]


[tex]\triangle MPO_{1} \cong \triangle QMO_{2} \begin{cases} MO_{1}=QO_{2} \\ PO_{1}=MO_{2} \\ \angle MO_{1}P = \angle QO_{2}M=90 ^\circ+ \beta \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} PM=QM \\ \angle MPQ = \angle QPM \end{cases}[/tex]

Нека:
[tex]\begin{array}{l} \angle MPQ = \angle QPM = x \\ \angle QMO_{2}= \angle MPO_{1} = \phi \\ \angle MQO_{2}= \angle PMO_{1} = \psi \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \phi + \psi + 90 ^\circ +\beta= 180 ^\circ ( \triangle MO_{2}Q) \\ 2x+ \beta +\phi +\psi = 180 ^\circ ( \triangle PMQ) \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \phi + \psi +\beta= 90^\circ ( \triangle MO_{2}Q) \\ 2x+90 ^\circ = 180 ^\circ ( \triangle PMQ) \end{array} \Rightarrow x=45 ^\circ[/tex]

Това е търсеният ъгъл.

Внимание: Предложеното решение е в контекста на направеното в началото допускане, че правите ъгли на новопостроените правоъгълни триъгълници са при върховете, които не принадлежат на триъгълник АВС.
[tex][/tex]

[ammornil]

В горния пост съм "оплел" имената на ъглите в триъгълник MPQ, два пъти съм посочил един и същи ъгъл... Моля за извинение.

Допускаме, че правите ъгли на новопостроените правоъгълни триъгълници са при върховете, които не принадлежат на триъгълник АВС.
Дадено:
[tex]\triangle ABC[/tex]
[tex]\triangle ABP, \angle APB=90 ^\circ, AP=BP[/tex]
[tex]\triangle BCQ, \angle BQC=90 ^\circ, BQ=CQ[/tex]
[tex]M \in AC, AM=MC[/tex]
Търсим:
[tex]\angle MQP = ?[/tex]

Нека:
[tex]\angle BAC= \alpha, \angle ABC= \beta, \angle BCA= \gamma[/tex]
[tex]O_{1} \in AB, AO_{1}=BO_{1}[/tex], [tex]O_{2} \in BC, BO_{2}=CO_{2}[/tex]
Тогава:
[tex]MO_{1}, O_{1}O_{2}, MO_{2}[/tex]-средни отсечки в [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]AO_{1}=BO_{1}=PO_{1}[/tex], [tex]BO_{2}=CO_{2}=QO_{2}[/tex], радиуси на описаните окръжности около правоъгълните триъгълници.
[tex]MO_{1}=BO_{2}=CO_{2} \Rightarrow MO_{1}=O_{2}Q, MO_{2}=AO_{1}=BO_{1} \Rightarrow MO_{2}=PO_{1}[/tex]


[tex]\triangle MPO_{1} \cong \triangle QMO_{2} \begin{cases} MO_{1}=QO_{2} \\ PO_{1}=MO_{2} \\ \angle MO_{1}P = \angle QO_{2}M=90 ^\circ+ \beta \end{cases} \Rightarrow PM=QM \Rightarrow \angle MPQ = \angle PQM, ( \triangle PQM[/tex]-равнобедрен[tex])[/tex].

Нека:
[tex]\begin{array}{l} \angle MPQ = \angle PQM = x \\ \angle QMO_{2}= \angle MPO_{1} = \phi \\ \angle MQO_{2}= \angle PMO_{1} = \psi \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \phi + \psi + 90 ^\circ +\beta= 180 ^\circ ( \triangle MO_{2}Q) \\ 2x+ \beta +\phi +\psi = 180 ^\circ ( \triangle PMQ) \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} \phi + \psi +\beta= 90^\circ ( \triangle MO_{2}Q) \\ 2x+90 ^\circ = 180 ^\circ ( \triangle PMQ) \end{array} \Rightarrow x=45 ^\circ[/tex]

Това е търсеният ъгъл.

Внимание: Предложеното решение е в контекста на направеното в началото допускане, че правите ъгли на новопостроените правоъгълни триъгълници са при върховете, които не принадлежат на триъгълник АВС.
[tex][/tex]