Триъгълник

[nikola.topalov]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с ортоцентър [tex]H[/tex]. Ако [tex]\sphericalangle ABC=60^\circ[/tex], да се докаже, че центърът на описаната окръжност около [tex]\triangle AHC[/tex] лежи на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

[S.B.]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] с ортоцентър [tex]H[/tex]. Ако [tex]\sphericalangle ABC=60^\circ[/tex], да се докаже, че центърът на описаната окръжност около [tex]\triangle AHC[/tex] лежи на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност.

Без заглавие - 2021-10-23T101354.115.png (361.45 KiB) Прегледано 405 пъти

[tex]C C_{1 } \bot AB , A A_{1 } \bot BC, AA_{1 } \cap CC_{1 } = H \Rightarrow H[/tex] е ортоцентър на [tex]\triangle ABC[/tex]
Около четириъгълника [tex]C_{1 }B A_{1 } H[/tex] може да се опише окръжност [tex]\Rightarrow \angle C_{1 }H A_{1 } = 120 ^\circ \Rightarrow \angle AHC = 120 ^\circ[/tex]
Нека [tex]k(O;R)[/tex] е описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност
Вписаният [tex]\angle ABC = 60 ^\circ \Rightarrow[/tex] централният [tex]\angle AOC = 120 ^\circ[/tex] (измерват се с една и съща дъга)
[tex]O O_{1 } \bot AC \Rightarrow \overset{\displaystyle \frown}{A O_{1 }} = \displaystyle\frac{1}{2}\overset{\displaystyle\frown}{AC} = 60 ^\circ \Rightarrow \angle AO O_{1 } = 60 ^\circ[/tex]
Лесно се доказва,че [tex]\triangle O O_{1 }A[/tex] е равностранен и [tex]OA = A O_{1 } = OO_{1 } = R \Rightarrow O_{1 } \in k[/tex]
Около [tex]\triangle AOC[/tex] може да се опише окръжност [tex]k_{1 }( O_{1 },R)[/tex]
Отсечката $AC$ се вижда по ъгъл [tex]120 ^\circ[/tex] от [tex]\overset{\displaystyle\frown}{AOC}[/tex]
Но доказахме,че и [tex]\angle AHC = 120 ^\circ \Rightarrow H \in \overset{\displaystyle\frown}{AOC} \Rightarrow \triangle AHC[/tex] е вписан в [tex]k_{1 }( O_{1 };R)[/tex]
[tex]O_{1 } \in k \Rightarrow[/tex] центърът на описаната около [tex]\triangle AHC[/tex] окръжност принадлежи на описаната около [tex]\triangle ABC[/tex] окръжност