Основни комбинаторни понятия - 8 клас

[Гост]

Бихте ли помогнали с тази задача от комбинаториката:
В турнир по футбол участвали 12 отбора. Всеки два отбора играли помежду си по един мач. Колко футболни мача са изиграли общо?
Аз смятам, че решението е (12.11)/2, т.е. се получава 132/2 = 66. Защото първи отбор е играл един мач с последния отбор, затова вадим 1 от 12 и става 11. Делим на 2, защото са изиграли два мача, а не всеки срещу всеки. Но проблемът ми е, че не мога да разбера (ако това е решението) как по-подробно се получава и не мога да си го обясня. Благодаря предварително, и ако може да ми обясните къде бъркам.

[ammornil]

Броят на комбинациите от всеки k елемента в множество от n елемента без повторенията е [tex]C_{_{n}}^{k}=\frac{(n-k+1)(n-k+2)...n}{k!}[/tex].
В нашия случай, имаме [tex]\begin{array}{l} k=2 \\ n=12 \end{array} \rightarrow C_{_{12}}^{2}=\frac{11.12}{2.1}=\frac{132}{2}=66[/tex].

---
По друг начин погледнато- нека да разгледаме домакинските мачове на всеки отбор, като отбор който е гостувал на друг, не може да е домакин на същия отбор.
Първият отбор играе само домакински мачове, значи ще изиграе 11 мача.
Вторият като домакин ще изиграе 10 мача (защото не може да е домакин на първия отбор).
Третият ще изиграе 9 мача (защото не може да е домакин на първите два отбора) и така нататък, като последният отбор ще има 0 домакински мачове.
Броят на мачовете за всеки отбор образуват намаляваща аритметична прогресия с разлика 1, първи член 11, последен член 0 и брой на членовете 12.
Сборът от елементите на тази прогресия е: [tex]S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}.n=\frac{11+0}{2}.12=11.6=66[/tex]