Медицентър

[Гост]

ABCD е успоредник.Точките EFGH са медицентрове съответно на триъгълниците ABD,ABC,BCD,CDA.Ако AC=24 cm,BD=18 cm,намери дълбините на диагоналите на фигурата EFGH.

[S.B.]

ABCD е успоредник.Точките EFGH са медицентрове съответно на триъгълниците ABD,ABC,BCD,CDA.Ако AC=24 cm,BD=18 cm,намери дълбините на диагоналите на фигурата EFGH.

Без заглавие - 2021-11-02T205547.952.png (231.69 KiB) Прегледано 410 пъти

[tex]AC \cap BD = O ,AO = OC = 12 , BO = OD = 9[/tex]
За [tex]\triangle ABD[/tex] :
$AO$ е медиана (ЗАЩО?) [tex]\Rightarrow E\in AO , AE: EO = 2:1 \Rightarrow EO = \frac{1}{3}AO \Rightarrow EO = \frac{1}{3}.12 = 4[/tex]
[tex]\triangle ABD \cong \triangle BCD[/tex] (ЗАЩО?) и $CO$ също е медиана [tex]\Rightarrow G \in CO[/tex]
С аналогични разсъждения получаваме,че [tex]GO = \frac{1}{3}.CO \Leftrightarrow GO = \frac{1}{3}.12 = 4[/tex]
$EG = EO + OG $ [tex]\Leftrightarrow EG = 4 + 4 = 8[/tex]

За [tex]\triangle ABC :[/tex]
$BO$ е медиана [tex]\Rightarrow F \in BO , BF:FO = 2: 1 \Rightarrow FO = \frac{1}{3} .BO = \frac{1}{3}.9 = 3[/tex]
Аналогично от [tex]\triangle АCD \rightarrow DO[/tex] е медиана [tex]\Rightarrow H \in DO \Rightarrow DH = \frac{1}{3}.DO = 3[/tex]
$HF = HO + OF = 6$
От [tex]\begin{cases} EO = OG\\ FO = OH \end{cases} \Rightarrow EFGH[/tex] е успоредник

Скрит текст: покажи

Четириъгълник на който диагоналите се разполовяват е успоредник

$$EG = 8 , FH = 6$$