Равнобедрен трапец

[Гост]

IMG_20211106_163802.jpg (1.65 MiB) Прегледано 610 пъти

IMG_20211106_163716.jpg (1021.41 KiB) Прегледано 610 пъти

IMG_20211106_163629.jpg (1.48 MiB) Прегледано 610 пъти

[ammornil]

(4)
[tex]D_{1}BCD[/tex] е правоъгълник, защото всички ъгли на фигурата са прави (по условие или по построение), [tex]\Rightarrow D_{1}B=CD=3cm[/tex]

[tex]\triangle D_{1}AD[/tex] е правоъгълен по построение и [tex]DD_{1}[/tex] е катет, лежащ срещу ъгъл [tex]30 ^\circ[/tex].
[tex]\Rightarrow DD_{1}=\frac{1}{2}AC=7cm[/tex]

[tex]S_{_{D_{1}BCD}}=DD_{1}.DC=7.3=21cm^{2}[/tex]

[tex][/tex]

[ammornil]

Нека [tex]AB=a, CD=b, h=4cm[/tex]
Построяваме двете височини на трапеца [tex]DD_{1} \bot AB, CC_{1} \bot AB, DD_{1}=CC_{1}=h[/tex]
[tex]D_{1}C_{1}CD[/tex] е правоъгълник, следователно [tex]D_{1}C_{1}=DC =b[/tex]
[tex]\triangle AD_{1}D \cong \triangle BC_{1}C \begin{cases} AD=BC \\ DD_{1}=CC{1} \\ правоъгълни \end{cases} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=x[/tex]

[tex]AD_{1}+D_{1}C_{1}+BC_{1}=AB \Rightarrow x+b+x=a \Rightarrow x=\frac{a-b}{2}[/tex]
По условие [tex]a-b=6 \Rightarrow \frac{a-b}{2}=3cm \Rightarrow AD_{1}=3cm[/tex]

[tex]\triangle AD_{1}D[/tex]-правоъгълен, [tex]\Rightarrow AD^{2}=AD_{1}^{2}+DD_{1}^{2}=3^{2}+4^{2}=25 \Rightarrow AD=5cm[/tex]

[tex][/tex]

[ammornil]

Нека [tex]AB=a, CD=b[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a+b = 26 \\ a-b= 14 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a+a-14 = 26 \\ b= a-14 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} 2a=40 \\ b= a-14 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a=20 \\ b= 6 \end{array}[/tex]


Построяваме двете височини на трапеца [tex]DD_{1} \bot AB, CC_{1} \bot AB, DD_{1}=CC_{1}=h[/tex]
[tex]D_{1}C_{1}CD[/tex] е правоъгълник, следователно [tex]D_{1}C_{1}=DC =b[/tex]
[tex]\triangle AD_{1}D \cong \triangle BC_{1}C \begin{cases} AD=BC \\ DD_{1}=CC_{1} \\ правоъгълни \end{cases} \Rightarrow AD_{1}=BC_{1}=x[/tex]

[tex]AD_{1}+D_{1}C_{1}+BC_{1}=AB \Rightarrow x+b+x=a \Rightarrow x=\frac{a-b}{2}[/tex]
По условие [tex]a-b=14 \Rightarrow \frac{a-b}{2}=7cm \Rightarrow AD_{1}=7cm[/tex]

[tex]\triangle AD_{1}D[/tex]-правоъгълен, [tex]\angle ADD_{1}=90 ^\circ - \angle DAD_{1}=45 ^\circ , \Rightarrow \triangle AD_{1}D[/tex] е равнобедрен, [tex]\Rightarrow DD{1}=AD_{1}=7cm[/tex]

[tex]S_{_{ABCD}}=\frac{AB+CD}{2}.DD_{1}=\frac{26}{2}.7=13.7=91cm^{2}[/tex]

[tex][/tex]

[Гост]

Да се докаже че ако в равнобдрен трапец диагоналът е ъглополовяща на острия ъгъл то малката му основа е равна на бедрото на трапеца.

[ammornil]

[tex]ABCD; AB|| CD; AD=BC; \angle CAD = \angle CAB[/tex]
Да се докаже, че [tex]AC=AD[/tex]

[tex]\begin{array}{l} \angle CAD = \angle CAB -по\ условие \\ \angle DCA = \angle CAB -кръстни \end{array} \Rightarrow \angle CAD = \angle DCA \Rightarrow \triangle ACD\ е\ равнобедрен, \Rightarrow AC=AD[/tex]

[tex][/tex]