Средна отсечка на трапец - упражнение

[dorothy]

Моля за решения на задачите:
1. Точките M и N са от страната AC на триъгълника ABC и AM = MN = NC. Правите през M и N, успоредни на AB, пресичат BC, съответно в точките P и Q. Намерете MP и NQ, ако AB = 36 см.

2. Точката M е среда на страната BC на трапеца ABCD (AB ǀǀ CD) a G е медицентър на триъгълника ADM. Намерете MG, ако AB = а и CD = b

3.В трапеца ABCD с основи AB > CD диагоналът AC е ъглополовяща на BCD и BC = 24 cm. Намерете основите на трапеца, ако диагоналите му разделят средната основа MN на три равни части.

[S.B.]

Моля за решения на задачите:

3.В трапеца ABCD с основи AB > CD диагоналът AC е ъглополовяща на BCD и BC = 24 cm. Намерете основите на трапеца, ако диагоналите му разделят средната основа MN на три равни части.

Без заглавие - 2021-11-16T212043.729.png (262.91 KiB) Прегледано 1317 пъти

[tex]\angle DCA = \angle BCA = \frac{1}{2} \angle C[/tex]
[tex]\angle DCA = \angle BAC[/tex] (кръстни ъгли)

От[tex]\begin{cases} \angle DCA = \angle BAC\\ \angle DCA = \angle BCA\end{cases} \rightarrow \angle BAC = \angle BCA \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow AB = BC = 24[/tex]
$MN$ е средна отсечка в трапеца [tex]\Rightarrow MN || AB , N[/tex] е среда на $BC$
[tex]MN \cap AC = P \Rightarrow PN[/tex] е средна отсечка в [tex]\triangle ABC \Rightarrow PN = \frac{1}{2}AB \Rightarrow PN = 12[/tex]
[tex]PN \cap BD = Q[/tex]
$NQ$ е средна отсечка в [tex]\triangle DCB \Rightarrow NQ = \frac{1}{2} CD[/tex]
$MP$ е средна отсечка в [tex]\triangle ACD \Rightarrow MP = \frac{1}{2} CD[/tex]
[tex]\Rightarrow MP = NQ[/tex]
Но по условие $MP = PQ = QN$
От [tex]\begin{cases} PQ = QN \\ PN = 12\end{cases} \rightarrow PQ = QN = 6[/tex]
[tex]QN = \frac{1}{2} CD \Rightarrow CD = 12[/tex]
$$AB = 24 , CD = 12$$

[S.B.]

Моля за решения на задачите:
1. Точките M и N са от страната AC на триъгълника ABC и AM = MN = NC. Правите през M и N, успоредни на AB, пресичат BC, съответно в точките P и Q. Намерете MP и NQ, ако AB = 36 см.

Без заглавие - 2021-11-17T143540.944.png (241.81 KiB) Прегледано 1302 пъти

От [tex]AM = MN = NC \rightarrow т.N[/tex] е среда на MC
Посроявам права [tex]l : \begin{cases} l z N \\ l || BC\\l \cap MP = N_{1 } \end{cases} \Rightarrow N_{1 }[/tex] е среда на $МP$
[tex]N_{1 }PQN[/tex] е успоредник [tex]\Rightarrow N_{1 }P = NQ[/tex]
Но [tex]N_{1 }[/tex] е среда на [tex]MP \Rightarrow M N_{1 } = N_{1 }P[/tex]
Ако [tex]NQ = x \Rightarrow MP = 2x[/tex]
За трапеца $ABQM$ отсечката $MP$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow MP = \frac{AB + MQ}{2} \Leftrightarrow 2x = \frac{36 + x}{2} \Rightarrow x = 12[/tex]
$$NQ = 12 , MP = 24$$

[S.B.]

Моля за решения на задачите:

2. Точката M е среда на страната BC на трапеца ABCD (AB ǀǀ CD) a G е медицентър на триъгълника ADM. Намерете MG, ако AB = а и CD = b

Без заглавие - 2021-11-17T151023.609.png (179.04 KiB) Прегледано 1289 пъти

Нека $N$ е среда на $AD$
Тогава $MN$ е медиана в [tex]\triangle AMD \Rightarrow G \in MN[/tex] като [tex]\frac{MG}{GN} = \frac{2}{1} \Rightarrow MG = \frac{2}{3} MN[/tex]
Но $MN$ е средна отсечка за трапеца $ABCD$ защото съединява средите $M$ и $N$ на бедрата $AD$ и $BC$
[tex]\Rightarrow MN = \frac{AB + CD}{2} \Leftrightarrow MN = \frac{a +b}{2}[/tex]
[tex]MG = \frac{2}{3}MN \Leftrightarrow MG = \frac{2}{3} \frac{a + b}{2} \Rightarrow MG = \frac{a +b}{3}[/tex]

[dorothy]

Благодаря сърдечно! Схванах логиката.