Даден е трапец с диагонали и техните среди

[Гост]

Здравейте! Моля ви да ми помогнете с ето тази задача:
Даден е трапец ABCD (AB успоредна на CD) с диагонали АС и ВD. Точките Р и Q са средите съответно на АС и ВD.
а) да се докаже, че отсечката РQ e успоредна на AB
б) да се докаже, че точките Р и Q са точки от средната отсечка на трапеца

Благодаря предварително и моля да обясните!

[Гост]

Задачата е доста лесна.
А) Начертаваме отсечката PQ. Тъй като PQ съединява двете среди на бедрата, следователно отсечката PQ е средна основа в трапеца ABCD. Следователно PQ е успоредна на основите AB и CD.
Б)Точките P и Q делят бедрата на две. Средната отсечка минава през две точки, като дели бедрата на две. Следователно точките P и Q са от средната отсечка. (Не можах да го обясня много добре, но мисле, че стана ясно).

[Гост]

Голямо благодаря!
Не, разбирам. Бях в грешна посока, защото мислех, че средната отсечка трябва да е различна (примерно да е МN, а РQ да е друга отсечка нали), но благодаря все пак!

[Гост]

Имам обаче един въпрос към решението ви. Казвате, че PQ съединява двете среди на бедрата. Обаче в условието АС и ВD са диагоналите, не бедрата. Затова не съм сигурна, че в крайна сметка е така решението.

[ammornil]

[tex]AB||CD[/tex]

Построяваме точките [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex], среди съответно на [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex],

[tex]\triangle ABD \rightarrow MQ[/tex] е средна отсечка по построение, [tex]\Rightarrow MQ || AB \Rightarrow MQ||CD[/tex].
[tex]\triangle CDA \rightarrow MP[/tex] е средна отсечка по построение, [tex]\Rightarrow MP || CD \Rightarrow MP||AB[/tex].



Ако допуснем, че точките [tex]M, P[/tex] и [tex]Q[/tex] не лежат на една права, тогава излиза че през точка [tex]M[/tex] минават две различни прави, всяка успоредна на основите на трапеца. Това противоречи на една от аксиомите на геометрията: През точка, нележаща на дадена права, минава не повече от една права, успоредна на дадената. Следователно точките лежат на една права, която е успоредна на основите на трапеца [tex]\Rightarrow PQ||AB[/tex].

Аналогично, можем да докажем, че точките [tex]N, P[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на една права, успоредна на основите( [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle BCD[/tex]).
От това, следва, че [tex]P[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на средната итсечка [tex]MN[/tex].
[tex][/tex]

[nikola.topalov]

Ето и още един поглед върху задачата. Нека [tex]O[/tex] е произволна точка от равнината на трапеца. Тогава
$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$$
Имаме
$$\begin{array}{|l} \overrightarrow{OQ}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}) \\ \overrightarrow{OP}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}) \end{array}$$
и следователно
$$\overrightarrow{PQ}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})$$
Тъй като [tex]\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{CD}[/tex], то единият вектор може да бъде представен като число по другия. Нека [tex]\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{AB}[/tex]. И така
$$\overrightarrow{PQ}=\dfrac{\lambda+1}{2}\overrightarrow{AB}$$
което означава, че [tex]\overrightarrow{AB}\parallel\overrightarrow{PQ}[/tex]. Ако [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са средите съответно на бедрата [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] на трапеца, то [tex]\overrightarrow{MN}\parallel\overrightarrow{AB}[/tex] от свойствата на средната основа на трапец. Оттук можем да си направим извода, че [tex]\overrightarrow{PQ}\parallel\overrightarrow{MN}[/tex], с което задачата е решена.

[S.B.]

Здравейте! Моля ви да ми помогнете с ето тази задача:
Даден е трапец ABCD (AB успоредна на CD) с диагонали АС и ВD. Точките Р и Q са средите съответно на АС и ВD.
а) да се докаже, че отсечката РQ e успоредна на AB
б) да се докаже, че точките Р и Q са точки от средната отсечка на трапеца

Благодаря предварително и моля да обясните!

Без заглавие - 2021-11-23T154426.503.png (238.77 KiB) Прегледано 2120 пъти

И още едно решение:
а)
За [tex]\triangle ADC :[/tex]
Точка $P$ е среда на $AC$ .Построявам права [tex]p \begin{cases} z P \\ ||CD\\ \cap AD = M\end{cases} \Rightarrow M[/tex] е среда на $AD$
За [tex]\triangle ABD :[/tex]
т.$M$ - среда на $AD$, т. $Q$ е среда на $BD$ [tex]\Rightarrow MQ[/tex] е средна отсечка и [tex]\Rightarrow MQ || AB[/tex]
[tex]\begin{cases} MP || CD \\ CD || AB \end{cases} \Rightarrow MP || AB[/tex]
Но през $M$ минава единствена права успоредна на $AB$ и от [tex]\begin{cases} MP||AB \\ MQ||AB \end{cases} \Rightarrow M,P,Q[/tex] принадлежата на тази права [tex]\Rightarrow PQ||AB[/tex]

б)
За [tex]\triangle BDC :[/tex]
Точка $Q$ е среда на $BD$.Построявам права [tex]q \begin{cases} z Q\\ ||DC\\ \cap BC = N\end{cases} \Rightarrow N[/tex]е среда на $BC$
$N$ - среда на $BC$ и $M$ среда на $AD$ [tex]\Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка за трапеца $ABCD$ и $MN || AB$
От подусловие а) получихме,че точките $P$ и $Q$ лежат на единствената права минаваща през $M$ и успоредна на $AB$
[tex]\Rightarrow P \in MN , Q \in MN[/tex]