Задача от група В за равностранен триъгълник

[Гост]

Моля ви да ми помогнете със задача от група В на "Книгата за ученика":
В равностранния АВС е построена височината CD (D лежи на АВ). Точки G1 и G2 са медицентрове на ADC и BDC. Докажете, че периметърът на АВС е 3 пъти по-голям от периметъра на G1G2D.
Благодаря предварително!!!

[S.B.]

Моля ви да ми помогнете със задача от група В на "Книгата за ученика":
В равностранния АВС е построена височината CD (D лежи на АВ). Точки G1 и G2 са медицентрове на ADC и BDC. Докажете, че периметърът на АВС е 3 пъти по-голям от периметъра на G1G2D.
Благодаря предварително!!!

Без заглавие - 2021-12-04T215200.965.png (237.58 KiB) Прегледано 376 пъти

[tex]AP , DM[/tex] - медиани в [tex]\triangle ADC ,AP \cap DM = G_{1 } \Rightarrow \frac{D G_{1 } }{ G_{1 }M } = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{D G_{1 } }{DM} = \frac{2}{3} \Rightarrow D G_{1 } = \frac{2}{3} DM[/tex]
Но $D$ е среда на $AB$, а $M$ е среда на $AC$ [tex]\Rightarrow DM[/tex] е средна отсечка и [tex]DM = \frac{1}{2} BC[/tex]
[tex]\begin{cases} D G_{1 } = \displaystyle\frac{2}{3}DM \\ DM = \displaystyle\frac{1}{2} BC \end{cases} \Rightarrow D G_{1 } = \displaystyle\frac{2}{3} .\displaystyle \frac{1}{2} BC \Rightarrow D G_{1 } =\displaystyle \frac{1}{3} BC[/tex]

Аналогично от [tex]\triangle DBC \rightarrow D G_{2 } = \frac{1}{3}AC[/tex]
[tex]\begin{cases} D G_{1 } = \displaystyle\frac{2}{3} DM \\D G_{2 }= \displaystyle\frac{2}{3}DN \end{cases} \Rightarrow G_{1 } G_{2 } = \displaystyle\frac{2}{3} MN[/tex]
Но $MN$ е средна отсечка [tex]\Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB \Rightarrow G_{1 } G_{2 } = \frac{2}{3}. \frac{1}{2}AB = \frac{1}{3}AB[/tex]
[tex]P_{ G_{1 } G_{2 }D } = D G_{1 } + D G_{2 } + G_{1 } G_{2 } = \frac{1}{3}(AC + BC + AB) = \frac{1}{3} P_{ABC }[/tex]

[nikola.topalov]

Вече е дадено решение, затова реших да отбележа, че дадената задача е частен случай на ето тази: Нека точка [tex]O[/tex] е от равнината на [tex]\triangle ABC[/tex]. Периметърът на триъгълника, чиито върхове са медицентровете на [tex]\triangle ABO[/tex], [tex]\triangle OBC[/tex] и [tex]\triangle AOC[/tex], е три пъти по-малък от този на [tex]\triangle ABC[/tex].
Доказателство: Нека [tex]G_1[/tex], [tex]G_2[/tex] и [tex]G_3[/tex] са медицентровете съответно на [tex]\triangle ABO[/tex], [tex]\triangle OBC[/tex] и [tex]\triangle AOC[/tex]. Имаме $$\overrightarrow{G_1G_2}=\overrightarrow{OG_2}-\overrightarrow{OG_1}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$ Аналогично показваме, че [tex]\overrightarrow{G_2G_3}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}[/tex] и [tex]\overrightarrow{G_3G_1}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CB}[/tex], което означава, че [tex]P_{G_1G_2G_3}=\dfrac{1}{3}P_{ABC}[/tex].