Окръжности и ъгли

[nikola.topalov]

Симетралата [tex]s[/tex] на страната [tex]AB[/tex] на остроъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] пресича отсечката [tex]AC[/tex] в точката [tex]M[/tex]. Окръжността около [tex]\triangle BCM[/tex] пресича [tex]s[/tex] и [tex]AB[/tex] съответно в точките [tex]Q[/tex] и [tex]P[/tex]. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], ако [tex]\sphericalangle ACB=4\sphericalangle QCP[/tex] и [tex]AP=BC[/tex].

[Евва]

[tex]\alpha[/tex]=36[tex]^\circ[/tex] , [tex]\beta[/tex] =72[tex]^\circ[/tex] , [tex]\gamma[/tex]=72[tex]^\circ[/tex]

Това ли е отговора ?

[Евва]

Нека т.Н е среда на отс.АВ , [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\alpha[/tex] и [tex]\angle[/tex]ACB=[tex]\gamma[/tex] ,тогава [tex]\angle[/tex]QCP=[tex]\frac{ \gamma }{4}[/tex]

т.М лежи на [tex]S_{AB }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] AM=BM [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABM=[tex]\angle[/tex]BAM=[tex]\alpha[/tex] ; вписаният [tex]\angle[/tex]PBM= впис. [tex]\angle[/tex]PCM ,значи [tex]\angle[/tex]PCM=[tex]\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\triangle[/tex]APC е равнобедрен и АР =СР (1)

[tex]\angle[/tex]САВ е ъгъл , върхът на който е външна точка за окр. [tex]\angle[/tex]CAB=[tex]\frac{дъгата{CB}-дъгатаМР}{2}[/tex] ;
[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{д.CB-2 \alpha }{2}[/tex] ; дъгата СВ=4[tex]\alpha[/tex] ;вписания [tex]\angle[/tex]CPB=2[tex]\alpha[/tex]

По условие AP=BC , от (1) АР=СР [tex]\Rightarrow[/tex] BC=CP т. е. [tex]\triangle[/tex]PBC е равнобедрен и [tex]\angle[/tex]PBC=[tex]\angle[/tex]CPB=2[tex]\alpha[/tex]

[tex]\angle[/tex]PBM+[tex]\angle[/tex]MBC=2[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]+[tex]\angle[/tex]MBC=2[tex]\alpha[/tex] ; [tex]\angle[/tex]MBC=[tex]\alpha[/tex] (2)
впис. [tex]\angle[/tex]MPC = впис.[tex]\angle[/tex]MBC т.е. [tex]\angle[/tex]MPC=[tex]\alpha[/tex] (3)

[tex]\angle[/tex]CAB+[tex]\angle[/tex]ABC+[tex]\angle[/tex]ACB=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]+2[tex]\alpha[/tex]+[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; 3[tex]\alpha[/tex]+[tex]\gamma[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] (4)

[tex]\angle[/tex]APM+[tex]\angle[/tex]MPC+[tex]\angle[/tex]CPB=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]APM+[tex]\alpha[/tex]+2[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]APM=180[tex]^\circ[/tex]-3[tex]\alpha[/tex]

([tex]\triangle[/tex]HPM) [tex]\angle[/tex]MHP+[tex]\angle[/tex]HPM+[tex]\angle[/tex]PMH=180[tex]^\circ[/tex] [ впис.[tex]\angle[/tex]QCP= впис. [tex]\angle[/tex]QMP т.е. [tex]\angle[/tex]QMP=[tex]\angle[/tex]PMH=[tex]\frac{ \gamma }{4}[/tex] ]
90[tex]^\circ[/tex]+(180[tex]^\circ[/tex]-3[tex]\alpha[/tex])+[tex]\frac{ \gamma }{4}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; 3[tex]\alpha[/tex]-[tex]\frac{ \gamma }{4}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] (5)

[ От (4) вадим (5) ] 3[tex]\alpha[/tex]+[tex]\gamma[/tex]-3[tex]\alpha[/tex]+[tex]\frac{ \gamma }{4}[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\gamma[/tex]=72[tex]^\circ[/tex]
(връщаме се към (5)) 3[tex]\alpha[/tex]-18[tex]^\circ[/tex]=90[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]=36[tex]^\circ[/tex]
[tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\beta[/tex]=180[tex]^\circ[/tex]-(36[tex]^\circ[/tex]+72[tex]^\circ[/tex]) ; [tex]\beta[/tex]=72[tex]^\circ[/tex]