Формули на Виет

[Гост]

.

[KOPMOPAH]

Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $ax^2+bx+c=0$, то според стария мъдрец Виет
$\red{x_1+x_2=-\frac ba}$ $~~~~~~~~~~\blue{x_1x_2=\frac ca}$
Например, ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $x^2-4x-1=0$, то $\red{x_1+x_2=-\frac ba}=4$, $\blue{x_1x_2=\frac ca}=-1$. Остана да представим израза$$A=3x_1^2+3x_2^2-5x_1x_2$$чрез червената и синята формула.

Ето как$$3x_1^2+3x_2^2-5x_1x_2=3x_1^2+6x_1x_2+3x_2^2-11x_1x_2=3\Big(\underbrace{(x_1+x_2)}_{=4}\Big)^2-11\underbrace{x_1x_2}_{=-1}=3.16+11=59$$

Това е идеята при използването на формулите на Виет - въртиш, сучеш и трябва да докараш израза да съдържа само $x_1+x_2$ и $x_1x_2$

За втората задача$$C=\frac {x_2}{x_1^2}+\frac{x_1}{x_2^2}=\frac {x_1^3+x_2^3}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-3x_1x_2)}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)\big((x_1+x_2)^2-3x_1x_2\big)}{x_1x_2}$$От условието имаме, че $x_1+x_2=-6$ и $x_1x_2=2$, заместваме и получаваме.