Моделиране с квадратни уравнения

[dorothy]

Моля да ме насочите как да реша тези задачи:
1.Сборът от квадратите на две последователни числа е 145. Намерете числата
Х2+(х+1) 2=145 х е N

2. Лицето на триъгълник е 52 см2. Едната от страните му е с 5 см по-дълга от височината към нея. Намерете дължините на страната и на височината към нея.
(х+5).х
______ =52, х>0
2

[ammornil]

Моля да ме насочите как да реша тези задачи:
1.Сборът от квадратите на две последователни числа е 145. Намерете числата
Х2+(х+1) 2=145 х е N

Правилно сте се ориентирали. Действително, ако означил първото число с [tex]x,\ (x \in N)[/tex], то следващото последователно цяло число ще има стойност [tex]x+1[/tex].
Тогава, от даденото условие ще получим: [tex]x^{2}+(x+1)^{2}=145[/tex].
Изразът в скобите е фолрмула за съкратено умножение.
[tex]x^{2}+x^{2}+2.x.1+1^{2}=145 \Leftrightarrow 2x^{2}+2x+1-145=0 \Leftrightarrow 2x^{2}+2x-144=0[/tex]
Можем да разделим всички едночлени на 2.
[tex]2x^{2}+2x-144=0 |:2 \ne 0 \Leftrightarrow x^{2}+x-72=0[/tex]
Формула за решаване на квадратно уравнение:
[tex]x_{_{1,2}}=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4.1.(-72)}}{2.1}=\frac{-1\pm\sqrt{1^{2}+288}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{-1\pm17}{2}[/tex]
Търсените числа са цели, но могат да са както положителни, така и отрицателни.
[tex]x_{_{1}}=\frac{-1-17}{2}=\frac{-18}{2}=-9[/tex], тогава една двойка търсени числа е [tex](-9;-8)[/tex]
[tex]x_{_{2}}=\frac{-1+17}{2}=\frac{16}{2}=8[/tex], тогава втора двойка решение на даденото условие е [tex](8;9)[/tex]

2. Лицето на триъгълник е 52 см2. Едната от страните му е с 5 см по-дълга от височината към нея. Намерете дължините на страната и на височината към нея.
(х+5).х
______ =52, х>0
2

Предложеният от Вас израз е коректно решение на задачата. Същото може да се запише и така:
Ако означим дължината на страната с [tex]x,\ (DM: x>0)[/tex], то по условие височината към нея има дължина [tex]x-5[/tex]. Тогава, лицето на тръгълника е страна по височина към нея върху две.
[tex]\frac{x(x-5)}{2}=52 \Leftrightarrow x^{2}-5x=104 \Leftrightarrow x^{2}-5x-104=0[/tex]
[tex]D=(-5)^{2}-4.1.(-104)=25+416=441 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-(-5)\pm\sqrt{441}}{2.1}=\frac{5\pm21}{2}[/tex]
[tex]x_{_{1}}=\frac{5-21}{2} <0 \Rightarrow \notin DM[/tex]

[tex]x_{_{2}}=\frac{5+21}{2}=\frac{26}{2}=13\ cm \ \in DM[/tex]

Страната е равна на [tex]13\ cm[/tex], а височината към нея е равна на [tex]8\ cm[/tex].