Формули за квадратни уравнения

[Гост]

4.Решете уравнението
а) [tex]\sqrt{2 x^{2 } }[/tex] + (3 - [tex]\sqrt{2}[/tex])х - 3 = 0

б) [tex](х - 1)^{3 }[/tex] - (х + 1)([tex]x^{2 }[/tex] - х + 1) = 4

[ammornil]

4.Решете уравнението
а) [tex]\sqrt{2 x^{2 } }[/tex] + (3 - [tex]\sqrt{2}[/tex])х - 3 = 0

a) [tex]\sqrt{2 x^{2 } } + (3 -\sqrt{2})x - 3 = 0[/tex] - не е квадратно уравнение. Би било, ако беше във вида: [tex]\sqrt{2} x^{2 } + (3 -\sqrt{2})x - 3 = 0[/tex]

Даденото от Вас уравнение се свежда до линейно модулно уравнение.
[tex]\sqrt{2} |x| + (3 -\sqrt{2})x - 3 = 0[/tex]

1) [tex]Dx: x<0 \Rightarrow -\sqrt{2}x + (3 -\sqrt{2})x - 3 = 0 \Leftrightarrow (3-2\sqrt{2})x=3 \Leftrightarrow x=\frac{3}{3-2\sqrt{2}}[/tex]

Рационализираме знаменателя: [tex]x=\frac{3}{3-2\sqrt{2}}.\frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}}=\frac{3.(3+2\sqrt{2})}{3^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\frac{3.(3+2\sqrt{2})}{9-8}=3.(3+2\sqrt{2}) > 0 \Rightarrow \notin Dx \Rightarrow[/tex] не е решение.

2) [tex]DX: x=0 \Rightarrow - 3 = 0 \Rightarrow[/tex] няма решения.

3) [tex]Dx: x>0 \Rightarrow \sqrt{2}x+3x-\sqrt{2}x -3 =0 \Leftrightarrow 3x=3 \Leftrightarrow x=1 \in Dx \Rightarrow[/tex] е решение.

Отг. [tex]x=1[/tex]

Ако все пак се търси решение на квадратното уравнение [tex]\sqrt{2} x^{2 } + (3 -\sqrt{2})x - 3 = 0[/tex] то
Формула за решаване на квадратни уравнеия от вида [tex]ax^{2}+bx+c=0,\ (a\ne0) \Rightarrow D=b^{2}-4ac \rightarrow \begin{cases} D>0 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\ D=0 \Rightarrow x_{_{1}}=x_{_{2}}=\frac{-b}{2a} \\ D<0 \Rightarrow x \in \oslash \end{cases}[/tex]

Забележка: Горепосоченото решение на квадратни уравнения е с отичитане на изискване [tex]x[/tex] да бъде реално число. В множеството на комплексните числа дискриминантата [tex][/tex] може да приема и отрицателни стойности.

В нашия случай [tex]\rightarrow \begin{array}{l} a=\sqrt{2} \\ b=3-\sqrt{2} \\ c=-3 \end{array} \Rightarrow D=(3-\sqrt{2})^{2}-4.\sqrt{2}.(-3)=9-6\sqrt{2}+2+12\sqrt{2}=9+6\sqrt{2}+2=(3)^{2}+2.3.\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}=(3+\sqrt{2})^{2} >0 \Rightarrow[/tex] два корена.

[tex]\Rightarrow \sqrt{D}=3+\sqrt{2} \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{3-\sqrt{2} \pm (3+\sqrt{2})}{2.\sqrt{2}} \Rightarrow \begin{cases} x_{_{1}}=\frac{3-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \\ x_{_{2}}=\frac{3-\sqrt{2}-3-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \end{cases}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}[/tex], рационализираме знаменателя: [tex]x_{_{1}}=\frac{3}{\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}[/tex]

[tex]x_{_{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-1[/tex]

$$ x_{_{1}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}; \ x_{_{2}}=-1$$

[ammornil]

4.Решете уравнението
б) [tex](х - 1)^{3 }[/tex] - (х + 1)([tex]x^{2 }[/tex] - х + 1) = 4

[tex]x^{3}-3.x^{2}.1+3.x.1^{2}-1^{3}-(x^{3}+1^{3})=4 \Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1-x^{3}-1-4=0 \Leftrightarrow -3x^{2}+3x-6 = 0[/tex]
Можем да разделим двете страни с (-3) за да получим положителен коефициент пред втората степен.
[tex]-3x^{2}+3x-6 = 0 |:(-3) \Rightarrow x^{2}-x+2=0[/tex]
[tex]\begin{array}{l} a=1\\ b=-1 \\ c=2 \end{array} \Rightarrow D=(-1)^{2}-4.1.2=1-8=-7 <0 \Rightarrow x \in \oslash[/tex]

Няма реални корени на уравнението.