Разложете на множители квадратният тричлен

[Гост]

Разложете на множители квадратният тричлен

[ammornil]

Ако имаме тричлен от вида [tex]ax^{2}+bx+c, \ (a\ne0)[/tex] то можем да го разложим на множители по схемата [tex]ax^{2}+bx+c=a(x-x_{_{1}})(x-x_{_{2}}),[/tex] където [tex]x_{_{1,2}}[/tex] са решенията на уравнението [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex]
Решенията на последното се намират по реда:
[tex]D=b^{2}-4ac \rightarrow \begin{cases} D>0 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\ D=0 \Rightarrow x_{_{1}}=x_{_{2}}=\frac{-b}{2a} \\ D<0 \Rightarrow x \in \oslash \end{cases}[/tex]
Забележка: Горепосоченото решение на квадратни уравнения е с отичитане на изискване [tex]x[/tex] да бъде реално число. В множеството на комплексните числа дискриминантата [tex][/tex] може да приема и отрицателни стойности.

Ако [tex]b=2k,\ (четно) \rightarrow D=k^{2}-ac \begin{cases} D>0 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-k\pm\sqrt{D}}{a}\\ D=0 \Rightarrow x_{_{1}}=x_{_{2}}=\frac{-k}{a} \\ D<0 \Rightarrow x \in \oslash \end{cases}[/tex]

В дадения от Вас пример имаме:
[tex]8x^{2}+(4\sqrt{3}+2)x+\sqrt{3} \rightarrow \begin{array}{l} a=8 \\ b=4\sqrt{3}+2=2(2\sqrt{3}+1) \rightarrow k=2\sqrt{3}+1 \\ c=\sqrt{3} \end{array} \Rightarrow D=(2\sqrt{3}+1)^{2}-8\sqrt{3}[/tex]
[tex]D=(2\sqrt{3})^{2}+2.2\sqrt{3}.1+1^{2}-8\sqrt{3}=(2\sqrt{3})^{2}+4\sqrt{3}+1-8\sqrt{3}=(2\sqrt{3})^{2}-2.(2\sqrt{3}).1+1^{2}=(2\sqrt{3}-1)^{2}\ (>0 \Rightarrow 2\ корена) \Rightarrow \sqrt{D}=2\sqrt{3}-1[/tex]

[tex]x_{_{1,2}}=\frac{-(2\sqrt{3}+1)\pm (2\sqrt{3}-1)}{8}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=\frac{-2\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}+1}{8}=\frac{-4\sqrt{3}}{8}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[tex]x_{_{2}}=\frac{-2\sqrt{3}-1+2\sqrt{3}-1}{8}=\frac{-2}{8}=-\frac{1}{4}[/tex]

Тогава даденият тричлен се разлага на множители във вида:
[tex]8x^{2}+(4\sqrt{3}+2)x+\sqrt{3}=8.\left[ x-\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right].\left[ x-\left( -\frac{1}{4} \right) \right]=8.\left( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\left( x+\frac{1}{4} \right)[/tex]

Обикновено това е видът в който искаме да представим нашия многочлен, за да изнесем общ множител или при решаване на неравенства (които ще учите по-нататък). Все пак, ако желаем може да се освободим от дробите в скобите като:
[tex]8.\left( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right).\left( x+\frac{1}{4} \right)=2.\left( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right).4.\left( x+\frac{1}{4} \right)=( 2x+\sqrt{3}).(4x+1)[/tex]

[Евва]

8[tex]x^{2 }[/tex]+4[tex]\sqrt{3}[/tex]x+2x+[tex]\sqrt{3}[/tex]=

=8[tex]x^{2 }[/tex]+2x+4[tex]\sqrt{3}[/tex]x+[tex]\sqrt{3}[/tex]=

=2x(4x+1)+[tex]\sqrt{3}[/tex](4x+1)=

=(4x+1)(2x+[tex]\sqrt{3}[/tex])