Разложете на множители квадратният тричлен

[Гост]

Разложете на множители квадратният тричлен

[ammornil]

Ако имаме тричлен от вида [tex]ax^{2}+bx+c, \ (a\ne0)[/tex] то можем да го разложим на множители по схемата [tex]ax^{2}+bx+c=a(x-x_{_{1}})(x-x_{_{2}}),[/tex] където [tex]x_{_{1,2}}[/tex] са решенията на уравнението [tex]ax^{2}+bx+c=0[/tex]
Решенията на последното се намират по реда:
[tex]D=b^{2}-4ac \rightarrow \begin{cases} D>0 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\\ D=0 \Rightarrow x_{_{1}}=x_{_{2}}=\frac{-b}{2a} \\ D<0 \Rightarrow x \in \oslash \end{cases}[/tex]
Забележка: Горепосоченото решение на квадратни уравнения е с отичитане на изискване [tex]x[/tex] да бъде реално число. В множеството на комплексните числа дискриминантата [tex][/tex] може да приема и отрицателни стойности.

Ако [tex]b=2k,\ (четно) \rightarrow D=k^{2}-ac \begin{cases} D>0 \Rightarrow x_{_{1,2}}=\frac{-k\pm\sqrt{D}}{a}\\ D=0 \Rightarrow x_{_{1}}=x_{_{2}}=\frac{-k}{a} \\ D<0 \Rightarrow x \in \oslash \end{cases}[/tex]
***************************************************************************************************************
В дадените от Вас примери имаме:[tex][/tex]
***************************************************************************************************************
(в) [tex]\sqrt{5}x^{2}+6x+\sqrt{5} \rightarrow \begin{array}{l} a=\sqrt{5}\\ b=6 =2.3 \rightarrow k=3 \\ c=\sqrt{5} \end{array}[/tex]
[tex]D=k^{2}-ac=3^{2}-\sqrt{5}.\sqrt{5}=9-5=4 >0 \Rightarrow[/tex] два корена. [tex]\sqrt{D}=2[/tex]
[tex]x_{_{1,2}}=\frac{-k\pm\sqrt{D}}{a}=\frac{-3\pm2}{\sqrt{5}}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=\frac{-3-2}{\sqrt{5}}=-\frac{5}{\sqrt{5}}=-\frac{(\sqrt{5})^{2}}{\sqrt{5}}=-\sqrt{5}[/tex]

[tex]x_{_{2}}=\frac{-3+2}{\sqrt{5}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}[/tex]. Рационализираме знаменателя: [tex]x_{_{2}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]

За разлагането на тричлена получаваме: [tex]\sqrt{5}x^{2}+6x+\sqrt{5}=\sqrt{5}.\left[ x- \left(-\sqrt{5} \right)\right]\left[ x- \left(-\frac{\sqrt{5}}{5} \right)\right]=\sqrt{5}(x+\sqrt{5})\left(x+\frac{\sqrt{5}}{5}\right)[/tex]

***************************************************************************************************************

(г) [tex]3x^{2}-13x+7 \rightarrow \begin{array}{l} a=3\\ b=-13 \\ c=7 \end{array}[/tex]
[tex]D=b^{2}-4ac=(-13)^{2}-4.3.7=169-84=85 >0 \Rightarrow[/tex] две решения. 85 не е точен квадрат, освен това [tex]85=5.17[/tex] следователно при коренуване няма да можем да изнесем нищo извън корена.

[tex]x_{_{1,2}}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{-(-13)\pm\sqrt{85}}{2.3}=\frac{13\pm\sqrt{85}}{6}[/tex]

[tex]x_{_{1}}=\frac{13-\sqrt{85}}{6}[/tex], [tex]x_{_{2}}=\frac{13+\sqrt{85}}{6}[/tex]

За разлагането на тричлена получаваме: [tex]3x^{2}-13x+7=3.\left( x-\frac{13-\sqrt{85}}{6} \right)\left( x-\frac{13+\sqrt{85}}{6} \right)[/tex]