Отсечките лежат ли на една права?

[Гост]

Ако в триъгълник АВС точките P, Q, L лежат съответно на страните му ВС, АС, и АВ, ДОКАЖЕТЕ, че средите на отсечките AP, BQ и CL не лежат на една права

[S.B.]

Ако в триъгълник АВС точките P, Q, L лежат съответно на страните му ВС, АС, и АВ, ДОКАЖЕТЕ, че СРЕДИТЕ на отсечките AP, BQ и CL не лежат на една права

Без заглавие - 2022-05-01T104423.697.png (197.15 KiB) Прегледано 546 пъти

Всъщност става въпрос не за отсечките а за средите на отсечките,което е съвсем различно от заглавието на темата!
Даден е [tex]\triangle ABC[/tex] и точките:[tex]P \in CB , Q \in CA , L \in AB[/tex]
Точките $P,Q$ и $L$ не лежат на една права [tex]\Rightarrow[/tex] съществува [tex]\triangle PQL[/tex]
Нека т.$M$ е среда на $QL$ , т.$N$ е среда на $QP$ и т.$K$ е среда на $LP$
Построявам права [tex]p \begin{cases} p z M \\ p z N \end{cases}[/tex]
точките $M$ и $N$ са среди на страните $QL$ и $QP$ на [tex]\triangle PQL \Rightarrow MN[/tex] е средна отсечка [tex]\Rightarrow MN || LP[/tex]
Но точката [tex]К \in LP[/tex]
Ако допуснем,че [tex]K \in MN[/tex] ще се окаже ,че [tex]MN \cap LP = K[/tex] което противоречи на следната теорема:
Всяка средна отсечка в триъгълника е успоредна на срещуположната страна и е равна на половината от нея

[tex]\Rightarrow[/tex] точките $M,N$ и $K$, които са среди на $QL,QP$ и $PL$ не лежат на една права.

[ammornil]

Как това:
ДОКАЖЕТЕ, че средите на отсечките AP, BQ и CL не лежат на една права
Стана това:
точките $M,N$ и $K$, които са среди на QL,QP и PL не лежат на една права?

[S.B.]

Как това:
ДОКАЖЕТЕ, че средите на отсечките AP, BQ и CL не лежат на една права
Стана това:
точките $M,N$ и $K$, които са среди на QL,QP и PL не лежат на една права?

Ами когато човек не си чете внимателно условието - така става!

[S.B.]

Ако в триъгълник АВС точките P, Q, L лежат съответно на страните му ВС, АС, и АВ, ДОКАЖЕТЕ, че средите на отсечките AP, BQ и CL не лежат на една права

Без заглавие - 2022-05-02T213239.230.png (212.1 KiB) Прегледано 502 пъти

Както и да се изберат точките $P,Q$ и $L$ върху страните $BC,AC$ и $AB$ на [tex]\triangle ABC[/tex] ,то средите на отсечките $AP,BQ$ и $CL$ винаги ще лежат на средните отсечки на триъгълника съответно успоредни на страните върху които са избрани точките $P,Q$ и $L$.

Скрит текст: покажи

Лесно се проверява като например за [tex]\triangle LBC[/tex] през средата [tex]L_{ср }[/tex] на $LC$ построите права успоредна на $AB$.Тя ще пресече страната $BC$ в т.$N$ ,а страната $AC$ в точка $М$ ,които според известната теорема ще бъдат също среди на тези страни и $MN$ ще бъде средна отсечка.

Нека $MN , MK , KN$ са средни отсечки,като [tex]MN || AB , MK || BC , NK || AC[/tex]
Имаме за средите на $CL , AP$ и $BQ$ :
[tex]L_{ср } = MN \cap CL[/tex]
[tex]P_{ср } = MK \cap AP[/tex]
[tex]Q_{ср } = KN \cap BQ[/tex]
Получихме,че средитe [tex]L_{ср } , P_{ср }[/tex] и [tex]Q_{ср }[/tex] са вътрешни точки за страните на [tex]\triangle MNK[/tex]
Нека построим правата [tex]p \begin{cases} p \cap MK = P_{ср } \\ p \cap z MN = L_{ср } \end{cases}[/tex]
Правата $p$ пресича две от страните на [tex]\triangle MNK[/tex] във вътрешни точки , но $p$ не може да пресече и $NK$ във вътрешна точка каквато е [tex]Q_{ср }[/tex] (тогава няма да съществува [tex]\triangle MNK[/tex])
[tex]\Rightarrow P_{ср }, Q_{ср } , L_{ср }[/tex] не могат да лежат на една права.