Медианата CM разделя триъгълник ABC на два триъгълника

[Гост]

Медианата CM разделя триъгълник ABC на два триъгълника. Допирните ѝ точки с вписаните в тези триъгълници окръжности са T1 и T2. Намерете T1T2, ако BC=a, AC=b(b>a).

[Гост]

EHOOOOOOOOOOOOOO

[Евва]

Нека окр.[tex]К_{1 }[/tex] е вписана в [tex]\triangle[/tex]АМС и окр.[tex]К_{2 }[/tex] е вписана в [tex]\triangle[/tex]МВС .
Нека [tex]К_{1 }[/tex] се допира до страните АМ, МС, АС съответно в т.J, т.[tex]T_{1 }[/tex], т.E .
Нека [tex]К_{2 }[/tex] се допира до страните MB,BC,CM съответно в т. N ,т.P ,т.[tex]T_{2 }[/tex] .
Да означим MJ=x ,AJ=y ,[tex]T_{1 }T_{2}[/tex]=t .

Скрит текст: покажи

[tex]T_{2 }[/tex] е между точките С и [tex]Т_{1 }[/tex]

[tex]Т_{1 } Т_{2 }[/tex]=t=?

MJ и М[tex]Т_{1 }[/tex] са две допирателни към [tex]К_{1 }[/tex] през точка М-външна за окръжността [tex]\Rightarrow[/tex] M[tex]T_{1 }[/tex]=MJ=x .
(допирателни) C[tex]T_{1 }[/tex]=CE , обаче AC=b [tex]\Rightarrow[/tex] EC=b-y
(допирателни) C[tex]T_{1 }[/tex]=CE ;C[tex]T_{2 }[/tex]+[tex]T_{1 }T_{2}[/tex]=b-y [tex]\Rightarrow[/tex] C[tex]T_{2 }[/tex]=b-y-t
(допирателни към [tex]К_{2 }[/tex]) C[tex]T_{2 }[/tex]=CP т.е. CP=b-y-t
BP+CP=BC ; BP+b-y-t=a [tex]\Rightarrow[/tex] BP=a+y+t-b и BN=BP=a+y+t-b
(допирателни) MN=M[tex]T_{2 }[/tex] ;MN=M[tex]T_{1 }[/tex]+[tex]T_{1 }T_{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] MN=x+t

За финал AM=BM
AJ+MJ=BN+MN
y+x=(a+y+t-b)+(x+t)
b-a=2t
t=[tex]\frac{b-a}{2}[/tex]