Уравнения

[Гост]

Решете уравненията

[S.B.]

[tex]\frac{1}{ x^{2 }+2x }- \frac{1}{ x^{2 } +2x +1} = \frac{1}{12}[/tex]
Д.М.
[tex]x^{2 } + 2x \ne 0 \Leftrightarrow x(x+2) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0 , x \ne - 2[/tex]
[tex]x^{2 } + 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow (x + 1)^{2 } \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1[/tex]
Д.М. [tex]\forall x \in (- \infty ;+ \infty )\ne \begin{cases} 0 \\ -1\\ -2 \end{cases}[/tex]

Правя следната субституция: [tex]x^{2 } + 2x = t , t \ne 0[/tex]

[tex]\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1 } = \frac{1}{12} \Leftrightarrow 12(t + 1) - 12t = t(t + 1) \Leftrightarrow t^{2 } + t - 12 = 0,D = 49 , t_{1 } = 3, t_{2 } = - 4[/tex]

Връщам субституцията:

[tex]x^{2 } + 2x = 3[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x^{2 } + 2x = -4[/tex]

1)
[tex]x^{2 } + 2x - 3 = 0 , D = 16 , x_{1 } = -3, x_{2 } = 1[/tex]

2)
[tex]x^{2 } + 2x +4 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2 } = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \notin[/tex] Д.М.

Корените са:
$$x_{1 } = -3 , x_{2 } = 1$$

[S.B.]

[tex]3( x^{2 } + \frac{1}{ x^{2 } }) - 11(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0[/tex]

Д.М. [tex]x\ne 0[/tex]

Правя субституция:
[tex]x + \frac{1}{x} = t[/tex]
[tex]x^{2 } + \frac{1}{ x^{2 } } = (x + \frac{1}{x}) ^{2 } - 2x. \frac{1}{x} = t^{2 } - 2[/tex]

Замествам:

[tex]3( t^{2 } - 2) - 11t + 2 =0 \Leftrightarrow 3 t^{2 } - 11t - 4 =0, D = 169 , t_{1,2 } = \frac{11 \pm 13}{6}, t_{1 } = 4 , t_{2 } = - \frac{1}{3}[/tex]

Връщам субституцията:

[tex]x + \frac{1}{x} = 4[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]x + \frac{1}{x} = - \frac{1}{3}[/tex]
1)
[tex]x + \frac{1}{x} = 4 \Leftrightarrow x^{2 } - 4x + 1 = 0 , D = 12 , x_{1,2 } = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3} }{2} = 2 \pm \sqrt{3} \ne 0 , x_{1,2 } \in[/tex] Д.М.
2)
[tex]x + \frac{1}{x} = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow 3 x^{2 }+ x + 3 = 0 ,D = -35 <0[/tex]

Корените са:
$$x_{1,2 } = 2 \pm \sqrt{3} $$