Успоредник

[Vasil-9x]

Сигурно задачата е елементарна, обаче съм позабравил геометрията, така че моля помогнете ми.

През върховете на успоредник ABCD са построени успоредни прави, които пресичат диагонала BD в точки E и F. Да се докаже, че AECF е успоредник.

[Martin Nikovski]

Тъй като [tex]AE[/tex] и [tex]CF[/tex] лежат на двете успоредни прави, имаме, че [tex]AB||CF[/tex].
Разглеждаме [tex]\Delta ABE[/tex] и [tex]\Delta CDF[/tex]:
[tex]AB=CD[/tex] (понеже [tex]ABCD[/tex] е успоредник).
[tex]\angle ABE=\angle CDF[/tex] - кръстни ъгли ([tex]AB||CD\cap BD[/tex])
[tex]\angle BAE=\angle DCF[/tex] - ъгли между две по две успоредни прави ([tex]AB||CD[/tex] и [tex]AE||CF[/tex])
Следователно [tex]\Delta ABE[/tex] и [tex]\Delta CDF[/tex] са еднакви [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AE=CF[/tex].
[tex]AECF[/tex] е четириъгълник с две успоредни и равни страни ([tex]AE||CF[/tex] и [tex]AE=CF[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AECF[/tex] е успоредник.