триъгълник описан около окръжност

[prodanov]

Урока е "Окръжност описана около тригълник". Ето задачката:

Намерете ъглите на триъгълник, ако височината и медианата през един от върховете разделят ъгъла на този връх на три равни части

Интерестното е ,че три часа я млатих и нищо не направих, седнах да направя чертеж за темата във форума и видях нещо.
Проблема е, че в урока никъде не е упоменато и за това ще питам директно въпрос.

Чертежа е голям и няма как да го вкарам директно в поста, ето директен линк: чертеж.

След като го направих на пейнт ми дойде идеята в главата - в правоъгълен триъгълник центъра на описаната окръжност е средата на хипотенузата, така ли? Никъде из учебника не намерих подобно твърдение.

Та, понеже не е дадена окръжност в условието, решението ми:

Построяваме окръжност, центъра се пада точка М(Медианата в АВС) => АМ=МВ=МС => триъгълник АМС е равностранен.
=>Алфа = 60 градуса => х = 30 градуса или ъглите на триъгълника са 90,60,30.

Въпрос 1: Вярно ли е че центъра на всяка окръжност в правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата?
Въпрос 1.1: Може ли да се използва обратното на това? Ако средата на най-голямата страна в един триъгълник е центъра, тогава срещуположният ? ъгъл е 90 градуса?
Въпрсо 2: Мога ли да започна задачата по тоя начин, като начертая окръжност?
Въпрос 2.1: Въобще мога ли да напиша решението така "Построяваме три симетрали, те имат обща точка М - център на окръжността, ама то М е среда на АВ". Притеснява ме това, че по условие не е дадено ,че триъгълника е правоъгълен и въобще не бих могъл да направя такъв чертеж ако не знаех, че С е 90 градуса.
Въпрос 2.2: Правилно ли съм я е решил, това ли е начина?

След тази случка забравям за чертежите "на око". Пейнта уби рибата, дано има такава теорема.

Мерси предварително!

[PodpalvachkaTa666]

Здравей:) Първо да кажа,че не съм математик, така че не гарантирам за казаното от мен:) Но ето какво мисля:
Въпрос 1: Вярно ли е че центъра на всяка окръжност в правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата?
Отговор: Центъра на всяка ОПИСАНА окръжност около правоъгален триъгълник е средата на хипутенузата му Дам,това е така.
Въпрос 1.1: Може ли да се използва обратното на това? Ако средата на най-голямата страна в един триъгълник е центъра, тогава срещуположният ? ъгъл е 90 градуса?
Отговор: Мисля че да,но пак повтарям ако е център на Описаната окръжност... с вписаната нещата не стоят по този начин.
Въпрсо 2: Мога ли да започна задачата по тоя начин, като начертая окръжност?
Отговор: Ами.. мисля,че не защото никъде в условието не пише за описана окръжност. Според мен щом докажеш,че АМС е равнобедрен/но не чрез окръжност,виж най-отдолу/=> АМ=МВ(по условие е медиана)=СМ(от развноб.триъгълник). Триъгълник на който дължината на медианата е равна на 1/2 от страна срещу която е прекарана е правоъгълен. При правоъгълният триъгълник винаги медианата към хипотенузата е 1/2 от нея. И това е... щом е правоъгълен ...вече ти е ясно:) Ще ти прекрепя чартеж,в който не знаем какъв е тригълника,но знаем,че медианата е 1/2 от страната и ще докажем че е правоъгълен:)
Въпрос 2.1: Въобще мога ли да напиша решението така "Построяваме три симетрали, те имат обща точка М - център на окръжността, ама то М е среда на АВ". Притеснява ме това, че по условие не е дадено ,че триъгълника е правоъгълен и въобще не бих могъл да направя такъв чертеж ако не знаех, че С е 90 градуса.
Отговор: Мисля,че предният отговаря и на този Дори не се задълбочих за това нещо със симетралите Много сложно ми се стори :Р
Въпрос 2.2: Правилно ли съм я е решил, това ли е начина?
Отговор: Общо взето да:)

разгледай [tex]\Delta AHC[/tex]

[tex]\alpha = 90 - x[/tex]

[tex]\Delta MHC[/tex]

[tex]\angle HMC = 90-x[/tex]

И алфа и ъгъл НМС са равни на 90-х ==> ъгъл алфа е равен на ъгъл НМС => тригълник АМС е равнобедрен . И това е...


П.П : Надявам се да не съм писала пълни глупости,отново казвам,че не съм математик. Ако греша за нещо-поправете ме!

[prodanov]

Мерси за изчерпателният отговор. Да, въпросите ми са за описана окръжност.

Но не разбрах как AC=AM=MB?
Да, по условие CH е височина и ъгълополувяща,ACM e равнобедрен(AC=CM). По условие АМ=МВ, но как АС=АМ? Триъгълника в действителност е равностранен, но не знам как да го докажа ако не с окръжност. Урока е за окръжности и това ме наведе на тая мисъл.
Т.е не разбирам как се доказва ,че основата АМ е равна на бедрата в АСМ?

П.П ето ми чертежа в умален вариант:

[PodpalvachkaTa666]

Но защо ти е да доказваш,че е равностранен? Той е,защото като докажеш,че АВС е правоъгълен значи правият ъгъл е 3х=90 и едното х-че е 30,а в триъгълник АМС, ъгъл АСМ=2х=60==> Тригълникът е рабнобвдрен с ъгъл 60 ==> равностранен... Значи Алфа = 2х. Не знам,възможно е и оркъжностите да имат пръст в цялата работа,но не мога да се сетя
Извинявай,че пиша така,но ми се спи и ме мързи да пиша всичко както трябва с формулките и ознаенията:)

[amsara]

ми аз не съм верно още 8 клас, но мисля че написаното като решение на чертежа не е вярно.
С тези означения за медиана, равна на половината страна, автоматично е прието, че триъгълникът е правоъгълен.А това не е зададено изобщо, трябва да се докаже.
Без да съм учила вписани и описани окръжности, успях да докажа че триъгълникът е правоъгълен.Ще споделя решението си.
Нека триъгълникът е ?ABC.СМ-медиана, СН-височина
По условие ACH=HCM=BCM=?
От сбора на ъгли в ? имаме:
?+2?+90=180 или ?+2?=90
?+?+90=180 или ?+?=90
?+2?=?+?
?+?+?=?+?
?+?=?
CMA -външен ъгъл в ?BCM, CMA=?+?=?
Тогава CAM=CMA=? и ?AMC - равнобедрен
Тогава за този триъгълник CH=m=l=h
AH=HM=x, AM=MB=2x
Спускаме перпендикуляр от М към ВС с пресечна точка Р.
От свойството на ъглополовящата СМ излиза, че НМ=MP=х
Разглеждаме правоъгълен триъгълник MBP с катет х и хипотенуза 2х.По теорема срещу ъгъл от 30°
в правоъгълен ? лежи 1/2 от хипотенузата.Следователно ?=30°
PMB=180-90-30=60°
AMP=180-60=120°
?HMC еднакъв на ?PMC по равни катет и хипотенуза
HMC=PMC=?=120/2=60°
60+30+AСВ=180
AСВ=90°
Леле по нощите колко грешки бях допуснала с буквите,след 3 корекции поредни най-накрая ги оправих и отивам да спя.

[PodpalvachkaTa666]

Ние говорихме,че АМС е равностранен За това че АВС е правоъгълен всички сме на едно мнение.
И твоето решение ми харесва,въпреки че умирам за сън и не го догледах до края,но съм сигурна че е завършило толкова добре колкото е и започнало Дам,интересно е да видиш как всеки си я решава различно,в крайна сметка всички получаваме еднакви резултати.И аз я реших без окръжност,с прости сметки и вероятно може би твоето е по-добро,защото е по-добре обосновано.Не знам,не му разбирам особено както вече казах ) Аз един триъгълник с описана оръжност не мога да оправя пък се очаква да решавам диференциални уравнения от Висшата математика Положението е трагично! Лека вечер пожелавам )

[prodanov]

Мерси отново за изчерпателните отговори!

Един последен въпрос.

Спускаме перпендикуляр от М към ВС с пресечна точка Р.
От свойството на ъглополовящата СМ излиза, че НМ=MP=х

Какво е това свойство?

[PodpalvachkaTa666]

[tex]\Delta HMC[/tex] еднакъв на [tex]\Delta PMC[/tex]

HM=MP

[prodanov]

4ти признак, сега разбрах. Хитро, мерси!

[amsara]

[tex]\Delta HMC[/tex] еднакъв на [tex]\Delta PMC[/tex]

HM=MP

Редът е малко обратен, еднаквостта се доказва едва след доказано равенство на двете страни.А това равенстно се доказва от своя страна точно със свойството на ъглополовящата. Последното гласи, че всяка точка от една ъглополовяща се намира на равни разстояния от раменете на съответния ъгъл.Тези разстояния са перпендикулярни, затова направих и допълнителното построение на перпендикуляра. Така се доказва равенството на НМ и МР.Едва след това вече разглеждаме еднаквостта, двата триъгълника са правоътълни и са еднакви по равен катет и обща хипотенуза.

[PodpalvachkaTa666]

[tex]\Delta HMC[/tex] еднакъв на [tex]\Delta PMC[/tex]

HM=MP

Редът е малко обратен, еднаквостта се доказва едва след доказано равенство на двете страни.А това равенстно се доказва от своя страна точно със свойството на ъглополовящата. Последното гласи, че всяка точка от една ъглополовяща се намира на равни разстояния от раменете на съответния ъгъл.Тези разстояния са перпендикулярни, затова направих и допълнителното построение на перпендикуляра. Така се доказва равенството на НМ и МР.Едва след това вече разглеждаме еднаквостта, двата триъгълника са правоътълни и са еднакви по равен катет и обща хипотенуза.

Дам,Даммм,има такова своийство.Но си помислих....Не може ли еднаквостта да се докаже и по признак? Имаме два правоъгълни триъгълника.Еднакви са по хипотенуза и 2 прилежащи ъгли. Хипутенузата им е обща,имат по един еднакъв ъгъл-х следователно и другите са равни другите са равни. Както и да е,няма значение

[amsara]

Да, сега като погледнах-наистина може и така.Но вслучая по-важно е самото даказване на равните страни за да получим катет, който е половината от хипотенузата и така да стигнем до ъгъл 30°.А по кой признак сме доказали еднаквостта не е толкова важно.

[PodpalvachkaTa666]

Да, сега като погледнах-наистина може и така.Но вслучая по-важно е самото даказване на равните страни за да получим катет, който е половината от хипотенузата и така да стигнем до ъгъл 30°.А по кой признак сме доказали еднаквостта не е толкова важно.

Напълно съгласна !