Задача с правоъгълник

[Vasil-9x]

В правоъгълника ABCD иглополовящата на ъгъл ABC пресича правите AC и AD съответно в точките Е и М като не съвпада с D. През Е е построена права, успоредна на AB, която пресича диагонала BD в т. К. Да се докаже, че отсечките АЕ и МК са перпендикулярни и равни.

Мисля, че, за да се реши задачата е необходима да се докаже че ABEK е равнобедрен трапец. Защото според мен след като АC и BD са диагонали ъгъл CAB и ъгъл DBA са равни следователно AE = BK. Но не съм сигурен.

[Martin Nikovski]

Чертеж.

Drawing.jpg (13.67 KiB) Прегледано 268 пъти

Разглеждаме четириъгълника [tex]KECD[/tex]:
[tex]CD||KE[/tex] (по построение), а [tex]DK\cancel{\ ||\ }EC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]KECD[/tex] е трапец.
[tex]ABCD[/tex] - правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle CDK=\angle ECD[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]KECD[/tex] е равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]EC=DK[/tex]
[tex]ABCD[/tex] - правоъгълник [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AC=BD[/tex]
[tex]\left. AE=AC-EC \\ BK=BD-DK \\ AC=BD \\ EC=DK \right\} \Rightarrow AE=BK[/tex] (разлики на равни отсечки)
Разглеждаме четириъгълника [tex]ABEK[/tex]:
[tex]AB||EK[/tex] (по построение), а [tex]BE\cancel{\ ||\ }KA[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]ABEK[/tex] е трапец.
[tex]AE=BK[/tex] (диагонали в трапеца) [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]ABEK[/tex] е равнобедрен трапец [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle KAB=\angle ABE=45^\circ[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AK[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle DAB[/tex] ([tex]\angle KAB=\angle KAM=45^\circ[/tex])
Разглеждаме [tex]\Delta ABM[/tex]:
[tex]\angle MAB=90^\circ[/tex], [tex]\angle ABM=\frac{90^\circ}{2 } =45^\circ[/tex] ([tex]BM[/tex] е ъглополовяща)[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle AMB=180^\circ -90^\circ -45^\circ =45^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta ABM[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AM=AB[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AKB[/tex] и [tex]\Delta AKM[/tex]:
[tex]1.\ AK[/tex] - обща страна
[tex]2.\ AM=AB[/tex] (по доказателство)
[tex]3.\ \angle KAB=\angle KAM =45^\circ[/tex] (по доказателство)
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta AKB[/tex] и [tex]\Delta AKM[/tex] са еднакви (по първи признак).
Следователно [tex]MK=BK[/tex]
[tex]\left. MK=BK \\ AE=BK \right\} \Rightarrow AE=MK[/tex]

Нека [tex]MK\cap AE=N[/tex] и [tex]\angle AMK=\angle ABK=\alpha[/tex] (от еднаквостта на триъгълниците).
[tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] - диагонали в правоъгълника [tex]ABCD[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BAC=\angle ABD=\alpha[/tex]
[tex]\angle NAM=\angle BAM-\angle BAC=90^\circ -\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta ANM[/tex]:
[tex]\angle NAM=90^\circ - \alpha[/tex], [tex]\angle AMN=\alpha[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle ANM=180^\circ-\left(90^\circ -\alpha \right)-\alpha =90^\circ[/tex]
Следователно [tex]AE\bot MK[/tex]