Височините DP и DQ на успоредника AM:MN:NC=1:3:2

[Гост]

Височините DP и DQ( P лежи на АВ, Q лежи на ВС) на успоредника ABCD пресича диагонала AC в точките M и N, така че AM:MN:NC=1:3:2. Ако АВ = 12 см, то намерете дължината на диагонала BD.

[Евва]

Получих BD =12 см. , но използвах подобни триъгълници .
Учили ли сте тази тема ?

[Гост]

Получих BD =12 см. , но използвах подобни триъгълници .
Учили ли сте тази тема ?

Не, свързано е със средни отсечки в трапец и успоредник и медицентър.

[S.B.]

Височините DP и DQ( P лежи на АВ, Q лежи на ВС) на успоредника ABCD пресича диагонала AC в точките M и N, така че AM:MN:NC=1:3:2. Ако АВ = 12 см, то намерете дължината на диагонала BD.

Без заглавие - 2022-12-19T093609.468.png (240.69 KiB) Прегледано 409 пъти

$ABCD$ е успоредник [tex]\Rightarrow DC = AB = 12[/tex]
[tex]AM:MN:NC = 1:3:2[/tex]
[tex]AM = x , MN = 3x , NC = 2x \Rightarrow AM + MN + NC = 6x \Rightarrow AC = 6x[/tex]
Нека [tex]AC \cap BD = O \Rightarrow AO = OC = 3x[/tex]
[tex]OC = ON + NC \Leftrightarrow 3x = ON + 2x \Rightarrow ON = x \Rightarrow CN:NO = 2x : x \Leftrightarrow CN:NO = 2:1[/tex]
Но $OC$ е медиана в [tex]\triangle BDC , \frac{CN}{NO} = \frac{2}{1} \Rightarrow N[/tex] е медицентър в [tex]\triangle BDC[/tex]
[tex]N\in DQ \Rightarrow DQ[/tex] е медиана също.
Но [tex]DQ\bot BC \Rightarrow DQ[/tex] е и височина [tex]\Rightarrow \triangle BDC[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow BD = CD = 12[/tex]

[Евва]

Късно ми хрумна още един начин . Построих т.К -среда на отс. AN [tex]\Rightarrow[/tex] KN=2a=CN
Нека т.Е лежи на отс. DN така ,че KE[tex]\bot[/tex]DN .
[tex]\triangle[/tex]KNE[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]NQC ( 2 признак ) [tex]\Rightarrow[/tex] KE=CQ (1)
Точка К е среда на отсечката AN и KE||AD

Скрит текст: покажи

защото построихме KE[tex]\bot[/tex]DQ и AD[tex]\bot[/tex]DQ
([tex]\angle[/tex]ADQ=[tex]\angle[/tex]CQD=90[tex]^\circ[/tex] кръстни )

Тогава КЕ е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]AND KE=[tex]\frac{AD}{2}[/tex] (2)
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] CQ=[tex]\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}[/tex] т.е. т.Q е среда на отс.ВС [tex]\Rightarrow[/tex] DQ е медиана ,но DQ беше и височина
в [tex]\triangle[/tex]BCD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]BCD е равнобедрен с бедра BD=CD=12 см.