Задача-окръжност

[Гост]

Моля, изпратете решение.

[Евва]

а) Нека [tex]\angle[/tex]АОD =[tex]\alpha[/tex]
ВD -диаметър [tex]\Rightarrow[/tex] точките В, О, D лежат на една права [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АОВ и [tex]\angle[/tex]АОD са съседни
Тогава важи [tex]\angle[/tex]AOB+[tex]\angle[/tex]AOD=180[tex]^\circ[/tex] ; 2[tex]\alpha[/tex]+[tex]\alpha[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\alpha[/tex]=60[tex]^\circ[/tex]
Намерихме [tex]\angle[/tex]AOD=60[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]AOD е равнобедрен (AO=DO=r) и [tex]\angle[/tex]ODA=[tex]\angle[/tex]OAD
[tex]\angle[/tex]OAD+[tex]\angle[/tex]ODA+[tex]\angle[/tex]AOD=180[tex]^\circ[/tex]
2[tex]\angle[/tex]OAD+60[tex]^\circ[/tex]=180[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]OAD=60[tex]^\circ[/tex]
Доказахме ,че [tex]\triangle[/tex]AOD е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] OA=AD=2 см.
d=2r=2.OA=2.2=4 см.

б) Нека разст. от т.О до хордата АВ е ОН ,ОН=4 см.
Нека разст. от т.О до хордата ВС е ОМ ,ОМ=8 см.
[tex]P_{ABCD }[/tex]=?
[tex]\angle[/tex]ABC е вписан в окр. К ; [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\frac{\widehat{CDA}}{2}[/tex]=[tex]\frac{180 ^\circ }{2}[/tex]=90[tex]^\circ[/tex]
По същия начин док. ,че [tex]\angle[/tex]BCD=[tex]\angle[/tex]CDA=[tex]\angle[/tex]BAD=90[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] ABCD е правоъгълник
ОН е разстоянието до хорда АВ [tex]\Rightarrow[/tex] ОН[tex]\bot[/tex]АВ (1)
DА[tex]\bot[/tex]АВ (2) (доказахме ,че [tex]\angle[/tex]BAD=90[tex]^\circ[/tex])
От (1) и (2) [tex]\Rightarrow[/tex] ОН||DA ,също знаем ,че т.О е среда на страната BD в [tex]\triangle[/tex]ABD [tex]\Rightarrow[/tex]
OH е средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]ABD т.е. OH=[tex]\frac{AD}{2}[/tex] ; 4=[tex]\frac{AD}{2}[/tex] ;AD=8 см.
Аналогично док. ,че ОМ е ср.отс. в [tex]\triangle[/tex]BCD [tex]\Rightarrow[/tex] OM=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] ;8=[tex]\frac{CD}{2}[/tex] ; CD=16 см.
[tex]P_{ABCD }[/tex]=2(AD+CD)=2(8+16) =2.24=48 см.