Окръжност

[Гост]

В ромб ABCD пресечната точка на диагоналите АС и BD е О. Окръжността к(О;r) се допира до AB. Докажете че к се допира до всички страни на ромба.

[ammornil]

В ромб ABCD пресечната точка на диагоналите АС и BD е О. Окръжността к(О;r) се допира до AB. Докажете че к се допира до всички страни на ромба.

230302_001.png (11.62 KiB) Прегледано 423 пъти

[tex][/tex]
Понеже [tex]ABCD[/tex] е ромб, [tex]AB=BC=CD=AD=a, \hspace{2em} AO=OC, BO=OD \Rightarrow \triangle{ABO} \cong \triangle{BCO} \cong \triangle{CDO} \cong \triangle{DAO} \text{ по три страни }[/tex]
Ако построим съответните височини във всеки от тези триъгълници [tex]OM\bot AB, ON \bot BC, OP \bot CD, OQ \bot DA[/tex] към страна на ромба, понеже тези страни са съответно равните в еднаквите триъгълници, то и така построените височини са съответно равните в еднаквите триъгълници [tex]\Rightarrow OM=ON=OP=OQ[/tex]

Радиъсът на вписаната окръжност в точката на допиране до коя да е страна е перпендикулярен на тази страна. Оттук следва, че височините които построихме са радиусите на вписаната в ромба окръжност с център [tex]O[/tex].
Даденатa окръжност също има за център точката [tex]O[/tex].Понеже по условие дадената окръжност се допира до [tex]AB[/tex], то радиусът на дадената окръжност също е перпендикулярен на [tex]AB[/tex], следователно този радиус е равен на [tex]OM[/tex], следователно дадената окръжност съвпада с вписаната в ромба окръжност, защото имат един и същ център и равни радиуси.

[S.B.]

В ромб ABCD пресечната точка на диагоналите АС и BD е О. Окръжността к(О;r) се допира до AB. Докажете че к се допира до всички страни на ромба.

Без заглавие - 2023-03-02T212214.776.png (252.16 KiB) Прегледано 400 пъти

Друг поглед върху задачата

Скрит текст: покажи

Пресечната точка на диагоналите е т.$O$.Означението за т.$E$ е останало неволно от черновата на чертежа Всъщност [tex]O \equiv E[/tex]

Едно от свойствата на ромба е,че неговите диагонали са и ъглополовящи на ъглите му.
Геометричното място на центровете на всички окръжности,които се допират до раменете на даден ъгъл е ъглополовящата на ъгъла.

[tex]AC \cap BD = O , k(O,r)[/tex] т.е. центърът лежи на пресечната точка на ъглополовящите на ъглите на ромба.

За [tex]\angle ABC[/tex]:
окръжността се допира до $AB$,центърът лежи на ъглополовящата $BO$ [tex]\Rightarrow[/tex] окръжността се допира до $BC$
За [tex]\angle DAB[/tex]:
окръжността се допира до $AB$,центърът лежи на ъглополовящата $AO$ [tex]\Rightarrow[/tex] окръжността се допира до $AD$
За [tex]\angle ADC[/tex]:
окръжността се допира до $AD$ , центърът лежи на ъглополовящата $DO$ [tex]\Rightarrow[/tex] окръжността се допира до $DC$