Задача с окръжност за осми клас

[Гост]

Задача за осми клас: Нека AB е диаметър на окръжността k и точката C е такава, че триъгълник ABC е равностранен. Правата, съдържаща височината CD на триъгълник ABC, пресича k в точките M и N. Ако P и Q са петите на перпендикулярите, спуснати от M и N към правата BC, докажете, че PQ = CD

[Евва]

[tex]\triangle[/tex]АВС -равностранен и т.D -среда на отс.АВ , окр.K(D ;R) .
Нека т.М е м/у точките С и N .
Докажете ,че PQ=CD
Да изразим и PQ и CD чрез R .

CD е височина в равностранен [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] CD=[tex]\frac{(2R) \sqrt{3} }{2}[/tex] ; CD=R[tex]\sqrt{3}[/tex] (1)
CM+MD=CD ;CM+R=R[tex]\sqrt{3}[/tex] ; CM=R([tex]\sqrt{3}[/tex]-1) (2)

CD е също и ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex] АВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]DCB=30[tex]^\circ[/tex] ; [tex]\angle[/tex]MCP=[tex]\angle[/tex]DCB=30[tex]^\circ[/tex]
[tex]\triangle[/tex]MPC e правоъг. с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] МР=[tex]\frac{МС}{2}[/tex]
([tex]\triangle[/tex]МРС-правоъг.) [tex]CP^{2 } +MP^{2}=MC^{2}[/tex] ; [tex]CP^{2 }[/tex]+[tex]\frac{ MC^{2 } }{4}[/tex]=[tex]MC^{2 }[/tex] ;[tex]CP^{2 }[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]MC^{2 }[/tex]

[tex]CP^{2 }[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]R^{2 }[/tex](3-2[tex]\sqrt{3}[/tex]+1) ; [tex]CP^{2 }[/tex]=[tex]\frac{ R^{2 }(12-6 \sqrt{3}) }{4}[/tex] (3)

[tex]\triangle[/tex]NQC -правоъг. с ъгъл 30[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]NQ^{2 } +CQ^{2}=CN^{2}[/tex] ; [tex]( \frac{CN}{2} )^{2 }[/tex]+[tex]CQ^{2 } =CN^{2}[/tex]

[tex]CQ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex]CN^{2 }[/tex] =[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex](CM+2R)^{2 }[/tex] =[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex](R \sqrt{3} -R+2R)^{2 }[/tex] =[tex]\frac{3}{4}[/tex][tex](R \sqrt{3}+R) ^{2 }[/tex] =[tex]\frac{3}{4}[/tex](3[tex]R^{2 }[/tex]+2[tex]\sqrt{3}[/tex][tex]R^{2 }[/tex]+[tex]R^{2 }[/tex])

Получихме [tex]CQ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{ R^{2 }(12+6 \sqrt{3}) }{4}[/tex] (4)

PQ=CQ-CP=[tex]\frac{R}{2}[/tex][tex]\sqrt{12+6 \sqrt{3} }[/tex] -[tex]\frac{R}{2}[/tex][tex]\sqrt{12-6 \sqrt{3} }[/tex]

Да вдигнем на 2 степен.
[tex]PQ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{ R^{2 } }{4}[/tex]( [tex]\sqrt{12+6 \sqrt{3} } - \sqrt{12-6 \sqrt{3} } )^{2 }[/tex]

[tex]PQ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{ R^{2 } }{4}[/tex]( 12+6[tex]\sqrt{3}[/tex] -2[tex]\sqrt{(12+6 \sqrt{3})(12-6 \sqrt{3}) }[/tex] +12-6[tex]\sqrt{3}[/tex] )=

=[tex]\frac{ R^{2 } }{4}[/tex](24-2[tex]\sqrt{144-108}[/tex]) =[tex]\frac{ R^{2 } }{4}[/tex](24-2.6) =3[tex]R^{2 }[/tex]

Получихме [tex]PQ^{2 }[/tex]=3[tex]R^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] PQ=R[tex]\sqrt{3}[/tex] (5)


От (1) и (5) [tex]\Rightarrow[/tex] PQ=CD