Може ли малко помощ?

[Гост]

20230321_213633.jpg (689.71 KiB) Прегледано 372 пъти

[ammornil]

[tex](4): \hspace{2em} k(O;r),\hspace{1em} k_{1}(B;r),\hspace{1em} k\cap k_{1} = \{C; D\}[/tex]
[tex]\angle{CAB}=?; \hspace{2em} \angle{ACD}=?[/tex]

Screenshot 2023-03-24 161536.png (17.88 KiB) Прегледано 341 пъти

[tex]OA=OB=OC=OD=BC=BD=r \Rightarrow \triangle{CBD} \text{ равностранен} \Rightarrow \angle{COB}=60^{\circ} \text{ централен ъгъл в } k \Rightarrow \widehat{CFB}=60^{\circ}[/tex]
[tex]\angle{CAB} \text{ периферен за } k \Rightarrow \angle{CAB}=\frac{\widehat{CFB}}{2}=30^{\circ}[/tex]
[tex]OCBD \text{ ромб} \Rightarrow CD\bot OB \Rightarrow \triangle{AQB} \text{ правоъгълен } \Rightarrow \angle{ACD}=90^{\circ}-\angle{CAQ}=60^{\circ}[/tex] $$ \angle{CAB}=30^{\circ} \hspace{1em} \angle{ACD}=60^{\circ} $$

[ammornil]

[tex](5) \hspace{2em} k(O;r) \hspace{1em} k_{1}(O_{1};r_{1}) \hspace{1em} k\cap k_{1} = \{A; B\}[/tex]
[tex](a) \hspace{1em} \because M \in OO_{1} \Rightarrow MA=MB[/tex]

Screenshot 2023-03-24 162612.png (16.08 KiB) Прегледано 341 пъти

Построяваме [tex]OA=OB=r, \hspace{1em} O_{1}A=O_{1}B=r_{1}, \hspace{1em} AB \cap OO_{1} = Q, \hspace{1em} OAO_{1}B \text{ делтоид } \Rightarrow OO_{1} \bot AB[/tex]
[tex]\triangle{AO_{1}B} \text{ равнобедрен } \Rightarrow OQ \rightarrow (h, l, m) \Rightarrow OO_{1}=s_{AB}[/tex]
Всяка точка от симетралата на отсечка [tex]AB[/tex] е равноотаделечена от краищата на отсечката [tex]\Rightarrow MA=MB \forall M \in OO_{1}[/tex]

[tex](5) \hspace{2em} k(O;r) \hspace{1em} k'(O';r') \hspace{1em} k\cap k_{1} = \{A; B\}[/tex]
[tex](б) \hspace{1em} \because \angle{OAO'}=90^{\circ} \Rightarrow \angle{AOO'}=\angle{BAO'}, \hspace{1em} \angle{AO'O}=\angle{OAB}[/tex]

Screenshot 2023-03-24 164336.png (15.2 KiB) Прегледано 341 пъти

От подрочка (1) [tex]OO_{1} \bot AB[/tex]
[tex]\begin{cases} \triangle{OAO'} \rightarrow \angle{AOO'}=90^{\circ}-\angle{OO'A} \\ \triangle{AQO'} \rightarrow \angle{QAO'}=90^{\circ}-\angle{QO'A} \\ \angle{QQ'A} \equiv \angle{QO'A} \end{cases} \Rightarrow \angle{AOO'}=\angle{BAO'}[/tex]
[tex]\begin{cases} \triangle{OQA} \rightarrow \angle{AOQ}=90^{\circ}-\angle{QOA} \\ \triangle{AQO'} \rightarrow \angle{QAO'}=90^{\circ}-\angle{QAO'} \\ \angle{QOA} \equiv \angle{QAO'} \end{cases} \Rightarrow \angle{AO'O}=\angle{OAB}[/tex]

[tex](5) \hspace{2em} k(O;r) \hspace{1em} k'(O';r') \hspace{1em} k\cap k_{1} = \{A; B\}[/tex]
[tex](в) \hspace{1em} \because \angle{AOO'}=\angle{BAO'} \Rightarrow \angle{OAO'}=90^{\circ}[/tex]

Screenshot 2023-03-24 165603.png (17.43 KiB) Прегледано 341 пъти

[tex]\angle{AOQ}=\angle{QAO'}=\alpha[/tex]
[tex]\triangle{AOQ} \rightarrow \angle{OAQ}=90^{\circ}-\alpha[/tex]
[tex]\angle{OAO'}=\triangle{AOQ}+\angle{QAO'}=90^{\circ}-\alpha+\alpha=90^{\circ}[/tex]

[ammornil]

[tex]6 \hspace{2em} k(O;r), OA=OB=r, k_{1}(O_{1};\frac{r}{2}), O_{1} \in OA, k_{2}(O_{2};\frac{r}{2}), O_{2} \in OB, k_{1}\cap k_{2}=M[/tex]
Докажете, че [tex]AM=BM[/tex]

Screenshot 2023-03-24 170800.png (18.11 KiB) Прегледано 339 пъти

[tex]O_{1}A=O_{1}M=O_{1}O=\frac{r}{2}, \hspace{2em} O_{2}B=O_{2}M=O_{2}O=\frac{r}{2}[/tex]
[tex]\triangle{AOB} \text{ равнобедрен } \Rightarrow \angle{OAB}=\angle{OBA}=\varphi[/tex]
[tex]\triangle{AO_{1}M} \text{ равнобедрен } \Rightarrow \angle{O_{1}AM}=\angle{O_{1}MA}=\varphi[/tex]
[tex]\triangle{MO_{2}B} \text{ равнобедрен } \Rightarrow \angle{O_{2}MB}=\angle{O_{2}BM}=\varphi[/tex]
[tex]\angle{AO_{1}M}=\angle{BO_{2}M}=180^{\circ}-2\cdot \varphi[/tex]
[tex]\triangle{AO_{1}M} \cong \triangle{MO_{2}B} \begin{cases} O_{1}A=O_{2}M=\frac{r}{2} \\ O_{1}M=O_{2}B=\frac{r}{2} \\ \angle{AO_{1}M}=\angle{BO_{2}M} \end{cases} \Rightarrow AM=BM[/tex]

***
Ограничение за взаимното положение на [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]
Ако [tex]AB[/tex] е диаметър на [tex]k[/tex] тогава точка [tex]M[/tex] ще съвпада с [tex]O[/tex], двете малки окръжности ще имат само една обща точка и [tex]MA=MB=r[/tex], но това ще противоречи на условието да имат втора обща точка, следователно [tex]AB[/tex] не може да бъде деаметър.

Screenshot 2023-03-24 172449.png (10.13 KiB) Прегледано 338 пъти