Окръжностите k1(O;r) и k2(O';R), се пресичат в точки M и N

[Гост]

Окръжностите k1(O;r) и k2(O';R), където R по-голям от r, се пресичат в точки M и N. Докажете, че дъгата MN в k1 е по-голяма (спрямо градуса мярка и дължина ) от дъгата MN в k2.
Някой може ли да ми помогне със тази задача, Благодаря.

[S.B.]

Окръжностите k1(O;r) и k2(O';R), където R по-голям от r, се пресичат в точки M и N. Докажете, че дъгата MN в k1 е по-голяма (спрямо градуса мярка и дължина ) от дъгата MN в k2.
Някой може ли да ми помогне със тази задача, Благодаря.

Без заглавие - 2023-03-22T151536.723.png (253.21 KiB) Прегледано 548 пъти

Задачата може да се реши лесно с Косинусова теорема,но Вие в 8 клас все още не сте изучавали тригонометрия и за това ще се постарая да я реша със знанията за 8 клас.
[tex]OO' \cap MN = P[/tex]
Построявам т.[tex]Q \begin{cases} Q \in OO'\\ OP = PQ \end{cases}[/tex]
[tex]\triangle OPM \cong \triangle QPM[/tex] (по 1-ви признак)
[tex]\Rightarrow MQ = MP = r , \angle MQP = \angle MOP = \frac{1}{2} \angle MON[/tex] (ЗАЩО?)
[tex]\angle PQM[/tex] е външен за [tex]\triangle QO'M \Rightarrow \angle PQM = \angle QMO' + \angle QO'M \Rightarrow \angle PQM > \angle QO'M[/tex]
[tex]\angle PQM = \angle POM = \frac{1}{2} \angle NOM[/tex]
[tex]\angle QO'M = \frac{1}{2} \angle MO'N[/tex]
[tex]\Rightarrow \angle NOM > \angle NO'M[/tex]
[tex]\angle NOM = \overset{\displaystyle\frown}{MN}[/tex] от окр.[tex]k_{1 } (O,r)[/tex]
[tex]\angle NO'M = \overset{\displaystyle\frown}{MN}[/tex] от окр.[tex]k_{2 }(O',R)[/tex]
[tex]\Rightarrow \overset{\displaystyle \frown}{MN}[/tex] от [tex]k_{1 }[/tex] е по-голяма в сравнение с [tex]\overset{\displaystyle \frown}{MN}[/tex] от окр.[tex]k_{2 }[/tex]

[Гост]

Благодаря за отговора. Само не разбрах защо от това следва,че дължината на едната е по-голяма от тази на другата.

[S.B.]

Благодаря за отговора. Само не разбрах защо от това следва,че дължината на едната е по-голяма от тази на другата.

Без заглавие - 2023-03-23T070207.313.png (201.46 KiB) Прегледано 524 пъти

Доказах,че [tex]\angle MON > \angle MO'N[/tex] (по- горе)
На по-голямият ъгъл съответства по-голяма дъга.
[tex]\angle MON[/tex] е централен ъгъл за зелената окръжност и стойността му се измерва с дължината на зелената дъга $MN$
[tex]\angle MO'N[/tex] е централен ъгъл ъгъл за виолетовата окръжност и стойността му се измерва с дължината на виолетовата дъга $MN$
[tex]\Rightarrow[/tex] дължината на зелената дъга $MN $ е по- голяма от дължината на виолетовата дъга $MN$
Прочети си урока за централен ъгъл и обърни внимание как се измерва

[Гост]

Благодаря.

[Гост]

Никъде не успях да намеря нищо затова че на по-голям ъгъл съответства по-голяма дъга.Това не се ли отнася за дъги в една и съща окръжност.

[S.B.]

Никъде не успях да намеря нищо затова че на по-голям ъгъл съответства по-голяма дъга.Това не се ли отнася за дъги в една и съща окръжност.

За измерване на ъглите има два вида мярки:
1)Градусна мярка
2)Дъгова мярка

За дъгова мярка ще си говорим ,тогава, когато Вашето дете ще бъде в 10 клас

За сега са учили само градусна мярка:
ВСЯКА!!!! окръжност се състои от пълни [tex]360 ^\circ[/tex]- това е пълният ъгъл
[tex]1 ^\circ = \frac{1}{360}[/tex]от пълния ъгъл или по простичко казано [tex]1 ^\circ =\frac{1}{360}[/tex] от окръжността.
Ако за един централен ъгъл знаем ,че е [tex]\varphi ^\circ[/tex] ,то той ще бъде ВИНАГИ [tex]\varphi ^\circ[/tex] независимо дали е в една или друга окръжност и той ще се измерва ВИНАГИ с принадлежащата му дъга,която ще бъде ВИНАГИ [tex]\varphi ^\circ[/tex],независимо от окръжността на която принадлежи.
Естествено е,на ъглите с по-голяма градусна мярка ще съответстват и дъги с по-голяма градусна мярка,независимо дали принадлежат на една и съща или на различни окръжности.
Струва ми се ,че в конкретната задача Вие не правите разлика между ХОРДАТА $MN$, която е обща и за двете окръжности и ДЪГИТЕ $MN$,с които се измерват ъглите,които доказахме,че не са равни - т.е. и мярките на дъгите с които се измерват не са равни.

[Гост]

В по-горния коментар говорих за дължините на дъгите, за градивните мерки го разбрах.

[Гост]

*градусните

[S.B.]

В по-горния коментар говорих за дължините на дъгите, за градусните мерки го разбрах.

Дължината на цялата окръжност се намира по формулата:
$$c = 2 \pi r$$
а дължината на дъгата се изчислява с формулата:
$$l_{n ^\circ } = \frac{2 \pi r n ^\circ }{360} $$
където [tex]n ^\circ[/tex] е градусната мярка
Не мисля,че в $8$ клас може да се говори за дължина на дъга от окръжност.Това е Ваша интерпретация.

[Гост]

Не получих отговор на въпроса, но ви благодаря за отделеното време.

[S.B.]

Не получих отговор на въпроса, но ви благодаря за отделеното време.

Напротив!Дадох ви формулата с която се пресмята дължина на дъга.Сега спокойно можете да пресметнете дължините,които Ви интересуват.Проблемът Ви е в това ,че не правите разлика между дължина на дъга и нейната градусна мярка,а разликата е огромна.

[S.B.]

Окръжностите k1(O;r) и k2(O';R), където R по-голям от r, се пресичат в точки M и N. Докажете, че дъгата MN в k1 е по-голяма (спрямо градуса мярка и дължина ) от дъгата MN в k2.
Някой може ли да ми помогне със тази задача, Благодаря.

Моля ,публикувайте снимка на условието,за да се види,че текстът е точно такъв, какъвто сте го написали:
"Докажете,че дъгата MN в k1 е по-голяма (спрямо градуса мярка и дължина) от дъгата MN в k2"
По-лесно от това да твърдите,че не сте получили отговор на въпроса си няма!А коректен ли е въпросът ,който задавате?!

[Гост]

Явно не се разбираме взаимно. Възможно е и аз да съм в грешка. Отново обаче Ви благодаря за отговорите:)